Упражнение 284 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(a^2\), \(b^2\), \(a - b\in \mathbb{Q}\), и \(a \ne b\).

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)

\( a^2 - b^2\) - рациональное число, так как \(a^2\) и \(b^2\) - рациональные числа, значит, и \((a - b)(a + b)\) — рациональное число.

\( a + b = \frac{a^2 - b^2}{a - b} \)

\(\frac{a^2 - b^2}{a - b}\) - рациональное число, поэтому и \(a+b\) - рациональное число.

Ответ: сумма \(a + b\) является рациональным числом.

Пояснения:

Используем формулу разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)

Если два множителя дают рациональное число и один из них (в данном случае \(a - b\)) тоже рациональный и не равен нулю, то второй множитель (\(a + b\)) должен быть рациональным.

Таким образом, из рациональности выражений \(a^2\), \(b^2\) и \(a - b\) следует рациональность суммы \(a + b\).

а) \(C(4{,}514),\ D(-1{,}9368\ldots),\ M(1{,}304)\)

1) \( CM = |4{,}514 - 1{,}304| = 3{,}21 \)

2) \(DM = |{-1{,}9368} - 1{,}304| =\)

\(=|-3{,}2408| = 3{,}2408 \)

3) \(3{,}21<3{,}2408 \)

Ответ: ближе точка \(C\).

б) \(C(-2{,}4815\ldots),\ D(11{,}454),\ M(4{,}586)\)

1) \(CM= |-2{,}4815 - 4{,}586| =\)

\(=|-7{,}0675| = 7{,}0675 \)

2) \(DM = |11{,}454 - 4{,}586| = 6{,}868 \)

3) \(7{,}0675 > 6{,}868 \)

Ответ: ближе точка \(D\).

Пояснения:

Чтобы определить, какая из двух точек ближе к данной точке на координатной прямой, нужно найти модули разностей (расстояния) между координатами этих точек и координатой данной точки и сравнить их. Чем меньше разность, тем ближе расположены точки друг к другу.

Формула расстояния между точками \(A(x_1)\) и \(B(x_2)\) на координатной прямой:

\( АВ = |x_1 - x_2| \)

Из двух десятичных дробей с одинаковыми целыми частями больше будет та дробь, у которой больше первая (при чтении слева направо) из неодинаковых цифр их дробных частей (поразрядное сравнение).

Из двух десятичных дробей с разными целыми частями больше та дробь, у которой целая часть больше.