Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№222 учебника 2023-2025 (стр. 57):
Известно, что \(a - b = 9\). Найдите значение дроби:
а) \(\frac{36}{(a - b)^2};\)
б) \(\frac{108}{(b - a)^2};\)
в) \(\frac{(5a - 5b)^2}{45};\)
г) \(\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 - b^3}.\)
№222 учебника 2013-2022 (стр. 54):
Докажите, что если правильная обыкновенная дробь \(\displaystyle \frac{a}{b}\) несократима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.
№222 учебника 2023-2025 (стр. 57):
Вспомните:
№222 учебника 2013-2022 (стр. 54):
Вспомните:
№222 учебника 2023-2025 (стр. 57):
а) \(\frac{36}{(a - b)^2};\)
\(a - b = 9\):
\(\displaystyle\frac{36}{(a - b)^2} = \frac{36}{9^2} = \frac{36}{81} = \frac{4}{9}.\)
б) \(\frac{108}{(b - a)^2};\)
\(a - b = 9\):
\(b - a = -(a - b) = -9\), значит
\(\displaystyle\frac{108}{(b - a)^2} = \frac{108}{(-9)^2} = \frac{108}{81} = \frac{4}{3}=1\frac{1}{3}.\)
в) \(\frac{(5a - 5b)^2}{45};\)
\(a - b = 9\):
\(5a - 5b = 5(a - b) = 5\cdot 9 = 45\), поэтому
\(\displaystyle\frac{(5a - 5b)^2}{45} = \frac{45^2}{45} = 45.\)
г) \(\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 - b^3}=\)
\(=\frac{ \cancel {a^2 + ab + b^2}}{ (a - b) \cancel {(a^2 + ab + b^2)}}=\)
\(=\frac{1}{ (a - b)}\)
\(a - b = 9\):
\(\frac{1}{(a - b)}=\frac{1}{9}.\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Подстановка известного значения \(a - b = 9\) в выражения с квадратом и в линейных сочетаниях.
2. Свойство степени: \((b - a)^2 = (-(a - b))^2 = (a - b)^2\).
3. Разность кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).
Развёрнутые пояснения:
– В пунктах а) и б) сразу используем подстановку в квадрат выражения \(a - b\) или \(b - a\), после чего получаем простые дроби.
– В пункте в) представляем разность \(5a - 5b\) как произведение \(5(a - b)\), возводим в квадрат и сокращаем с делителем.
– В пункте г) используем формулу разности кубов в знаменателе, сокращаем общий множитель и получаем единицу, делённую на \(a - b=9\).
№222 учебника 2013-2022 (стр. 54):
Пусть \(\frac{a}{b}\) - правильная несократимая дробь.
Дополним дробь до единицы:
\(\frac{a}{b} + \frac{b-a}{b} = 1,\) значит рассматриваемая дробь - \(\displaystyle \frac{b-a}{b}\).
Предположим, что \(\frac{b-a}{b}\) - сокращается на некоторое число \(c\), при этом при сокращении в знаменателе получаем \(x\), в знаменателе \(y\), то есть:
\({b-a}=cx\); \(b=cy\), откуда,
\(a=b-cx=cy-cx=c(y-x);\)
Получаем, \(\frac{a}{b}=\frac{c(y-x)}{cy}\), но данная дробь сокращается на \(c\), что противоречит условию, следовательно, предположение неверно и дробь \(\frac{b-a}{b}\) несократима, что и требовалось доказать.
Пояснения:
Определение несократимой дроби:
Дробь \(\displaystyle \frac{p}{q}\) называется несократимой, если числа \(p,q\) взаимно простые.
Вернуться к содержанию учебника