Упражнение 219 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 + ab - 2a - 2b}=\)

\(=\frac{(a - 2)^2}{a(a + b) - 2(a + b)}=\)

\(=\frac{(a - 2)^{ \cancel 2}}{(a + b) \cancel {(a - 2)}}= \frac{a - 2}{a + b}; \)

б) \(\frac{6x^2 - 3xy + 4x - 2y}{9x^2 + 12x + 4}= \)

\(=\frac{3x(2x - y) + 2(2x - y)}{ (3x + 2)^2}= \)

\(=\frac{ (2x - y) \cancel {(3x + 2)}}{ (3x + 2)^{ \cancel 2}}= \frac{2x - y}{3x + 2}; \)

в) \(\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^3 + 8b^3}=\)

\(=\frac{(a + 2b)^{ \cancel 2}}{ \cancel {(a + 2b)}\bigl(a^2 - 2ab + 4b^2\bigr)}=\)

\(= \frac{a + 2b}{a^2 - 2ab + 4b^2}; \)

г) \(\frac{27x^3 - y^3}{18x^2 + 6xy + 2y^2}=\)

\(=\frac{ (3x - y) \cancel {(9x^2 + 3xy + y^2)}}{2\ \cancel {(9x^2 + 3xy + y^2\bigr)}}=\)

\(= \frac{3x - y}{2}. \)

Пояснения:

– Для сокращения дроби раскладываем числитель и знаменатель на множители и сокращаем общий множитель.

– В пункте а) вынесли \(a-2\) в числителе и знаменателе.

– В пункте б) сгруппировали по \(2x - y\) и заметили полный квадрат в знаменателе.

– В пункте в) применили формулу суммы кубов в знаменателе и квадрат двучлена в числителе.

– В пункте г) использовали разность кубов в числителе и вынесли общий множитель в знаменателе.

Пусть:

\(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} = t.\)

Тогда

\[a = tb,\quad b = tc,\quad c = ta.\]

\(a\cdot b\cdot c = (t b)\,(t c)\,(t a) = t^3\,(a b c)\) \(|: a b c\neq0\)

\(1 = t^3 \;\Rightarrow\; t = 1\)

Значит

\(\frac{a}{b} = 1,\;\frac{b}{c} = 1,\;\frac{c}{a} = 1\)

\(\;\Longrightarrow\;\;a = b = c,\) что и требовалось доказать.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1. Введение параметра \(t\) для обозначения общего значения дробей.

2. Представление каждого равенства в виде \(a = tb\), \(b = tc\), \(c = ta\).

3. Перемножение трёх равенств для получения уравнения \(t^3=1\).

4. Решение уравнения \(t^3=1\) в действительных числах даёт \(t=1\), что приводит к равенству \(a=b=c\).