Упражнение 206 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(5x + y - xy = 2;\)

\((5 - y)x = 2-y;\)

\(x=\frac{2-y}{5-y}\)

\(x=\frac{y-2}{y-5}\)

\(x=\frac{(y-5)+3}{y-5}\)

\(x=1+\frac{3}{y-5}\)

Делители 3: \(\pm1,\pm3\).

\(y-5=3\;\Rightarrow\;y=8\):

\(x=1+\frac{3}{8-5}=2\)

\(y-5=1\;\Rightarrow\;y=6:\)

\(x=1+\frac{3}{6-5}=4\)

\(y-5=-3\;\Rightarrow\;y=2:\)

\(x=1+\frac{3}{2-5}=0\)

\(y-5=-1\;\Rightarrow\;y=4:\)

\(x=1+\frac{3}{4-5}=-2\)

Ответ: \((2;8);\) \((4; 6); (0; 2); (-2; 4).\)

б) \(xy - x + y = 8\)

\((x+1)y =x+ 8\)

\(y=\frac{x+8}{x+1}\)

\(y=\frac{(x+1)+7}{x+1}\)

\(y=1+\frac{7}{x+1}\)

Делители 7: \(\pm1,\pm7\).

\(x+1=1\Rightarrow\;x=0:\)

\(y=1+\frac{7}{0+1}=8\)

\(x+1=7\Rightarrow\;x=6:\)

\(y=1+\frac{7}{6+1}=2\)

\(x+1=-1\Rightarrow\;x=-2:\)

\(y=1+\frac{7}{-2+1}=-6\)

\(x+1=-7\Rightarrow\;x=-8:\)

\(y=1+\frac{7}{-8+1}=0\)

Ответ: \((0; 8); (6; 2); (-2; -6); (-8;0).\)

Пояснения:

1. Выражаем одну переменную через другую.

2. Выделяем из полученной дроби целую часть.

3. Находим значение переменной, при котором дробная часть будет являться целым числом.

4. Вычисляем значение второй переменной при полученном значении первой.

\(\frac{x - y}{y} = 2 \;\Rightarrow\; x - y = 2y \;\Rightarrow\; x = 3y.\)

\( \frac{3(3y)^2 - (3y)y + 6y^2}{y^2} =\)

\(=\frac{27y^2 - 3y^2 + 6y^2}{y^2} = \frac{30y^2}{y^2} = 30 \)

Ответ: 30.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Свойство дроби: \(\displaystyle\frac{x - y}{y} = 2\) эквивалентно \(x - y = 2y\).

2. Метод подстановки: после нахождения \(x\) через \(y\) заменили \(x\) в исходном выражении.

3. Сокращение степени: деление \(30y^2\) на \(y^2\) даёт число 30.

Развернутые пояснения:

Сначала преобразовали дробь \(\frac{x - y}{y}\) к линейному уравнению, что позволило выразить переменную \(x\) через \(y\).

Затем в числителе исходного выражения заменили \(x\) на \(3y\) и раскрыли скобки, получив многочлен \(27y^2 - 3y^2 + 6y^2 = 30y^2\).

Наконец, разделили получившийся числитель на знаменатель \(y^2\), что даёт окончательный ответ, не зависящий от \(y\) (при \(y\neq0\)).