Упражнение 204 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Выполним деление многочленов:

\(a^2 - 4a + 1=(a-2)(a-2)+(-3)\)

\(\frac{a^2 - 4a + 1}{a - 2} = a - 2 + \frac{-3}{a - 2}\)

Чтобы выражение было целым, дробь \(\frac{-3}{a - 2}\) должна быть целой. Значит, \(a - 2\) — делитель числа \(-3\).

Делители \(-3\): \(\pm1,\pm3\). 

Если  \(a - 2 = 1\) , то \(a = 3\):

\(3 - 2 - \frac{3}{1} = -2\).

Если \(a - 2 = -1\), то \(a = 1\):

\(1 - 2 - \frac{3}{-1} = 2\).

Если \(a - 2 = 3\), то \(a = 5\):

\(5 - 2 - \frac{3}{3} = 2\).

Если \(a - 2 = -3\), то \(a = -1\):

 \(-1 - 2 - \frac{3}{-3} = -2\).

Ответ: при \(a=\pm1,3, 5\) дробь принимает целые значения \(-2\) и \(2\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Выполняем деление многочлена на многочлен  для представления рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2. Дробь \(\frac{p}{q}\) при целых \(p,q\) целая тогда и только тогда, когда \(q\) делит \(p\).

3. Перечисление всех целочисленных делителей числа \(-3\).

Пояснения к шагам:

Сначала разделили \(a^2 - 4a + 1\) на \(a - 2\), чтобы выделить целую часть \(a-2\) и остаток \(-3\).

Затем потребовали, чтобы оставшаяся дробь \(\frac{-3}{a-2}\) была целой, то есть \(a-2\) должен быть делителем \(-3\).

Перебрав значения \(a-2\in\{-3,-1,1,3\}\), получили соответствующие целые \(a\) и вычислили значение всей дроби.

\(5a^2 + 6 =5a^2 +5+1= 5\,(a^2 + 1) + 1,\)

следовательно

\[\frac{5a^2 + 6}{a^2 + 1} = 5 + \frac{1}{a^2 + 1}.\]

Число 1 имеет единственный делитель 1. А поскольку при любом целом \(a\neq0\) имеет место \(a^2+1>1\), дробная часть \(\frac{1}{a^2+1}\) не является целым числом, а следовательно, исходное выражение не может принимать целые значения при любом целом \(a\neq0.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

Дробь \(\frac{R}{S}\) с целыми \(R,S\neq0\) целая тогда и только тогда, когда остаток равен нулю (то есть \(S\) делит \(R\)).