Упражнение 82 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

a) \(x + \frac{1}{y} =\frac{x}{1} ^{\color{blue}{\backslash{y}}} + \frac{1}{y} =\)

\(= \frac{xy + 1}{y}.\)

б) \(\frac{1}{a} - a =\frac{1}{a} - \frac{a}{1} ^{\color{blue}{\backslash{}a}} = \)

\(= \frac{1 - a^2}{a}.\)

в) \(3a - \frac{a}{4} =\frac{3a}{1} ^{\color{blue}{\backslash4}} - \frac{a}{4} =\)

\(= \frac{12a - a}{4} = \frac{11a}{4}.\)

г) \(5b - \frac{2}{b} =\frac{5b}{1} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} - \frac{2}{b} =\)

\(= \frac{5b^2 - 2}{b}.\)

д) \(\frac{a^2 + b}{a} - a =\frac{a^2 + b}{a} - \frac{a}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(= \frac{\cancel{a^2} + b - \cancel{a^2}}{a} = \frac{b}{a}.\)

е) \(2p - \frac{4p^2 + 1}{2p} =\frac{2p}{1} ^{\color{blue}{\backslash{2p}}} - \frac{4p^2 + 1}{2p} =\)

\(= \frac{4p^2 - (4p^2 + 1)}{2p} =\)

\(=\frac{4p^2 - 4p^2 - 1}{2p} = \frac{-1}{2p}= -\frac{1}{2p}.\)

ж) \(\frac{(a - b)^2}{2a} + b =\frac{(a - b)^2}{2a} + \frac{b}{1} ^{\color{blue}{\backslash{2a}}} =\)

\(= \frac{(a - b)^2 + 2ab}{2a} = \)

\(=\frac{a^2 - \cancel{2ab} + b^2 + \cancel{2ab}}{2a} = \frac{a^2 + b^2}{2a}.\)

з) \(c - \frac{(b + c)^2}{2b} =\frac{c}{1} ^{\color{blue}{\backslash{2b}}} - \frac{(b + c)^2}{2b} =\)

\(=\frac{2bc-(b + c)^2}{2b}=\)

\(= \frac{2bc - (b^2 + 2bc + c^2)}{2b} =\)

\(= \frac{\cancel{2bc} - b^2 - \cancel{2bc} - c^2}{2b} =\)

\(=\frac{-b^2 - c^2}{2b}=-\frac{b^2 + c^2}{2b}.\)

Пояснения:

Использованные правила:

1. Выражения без знаменателей сначала записываем в виде дробей со знаменателем 1, затем для сложения/вычитания дробей приводят их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующих дробей на недостающие множители. После этого выполняют действия с числителями, оставляя общий знаменатель.

2. Приведение подобных слагаемых:

\(ax+bx=(a+b)x\).

3. Раскрытие скобок:

- квадрат разности двух выражений:

\(\;(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2;\)

- квадрат суммы двух выражений:

\(\;(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;\)

- противоположные выражения:

\(-(a-b) = -a+b.\)

а) \(1 - \frac{a}{5} - \frac{b}{4} =\frac{1}{1} ^{\color{blue}{\backslash20}} - \frac{a}{5} ^{\color{blue}{\backslash4}} - \frac{b}{4} ^{\color{blue}{\backslash5}} =\)

\(= \frac{20 - 4a - 5b}{20}.\)

б) \(12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} =\)

\(=\frac{12}{1} ^{\color{blue}{\backslash{ab}}} - \frac{1}{a} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} - \frac{1}{b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\frac{12ab - b - a}{ab}.\)

в) \(\frac{a - 2}{2} - 1 - \frac{a - 3}{3} =\)

\(=\frac{a - 2}{2} ^{\color{blue}{\backslash3}} - \frac11 ^{\color{blue}{\backslash6}} - \frac{a - 3}{3} ^{\color{blue}{\backslash2}} =\)

\(=\frac{3(a - 2) - 6 - 2(a-3)}{6}  =\)

\(=\frac{3a - 6 - \cancel{6} - 2a+\cancel{6}}{6}  =\)

\(=\frac{a - 6}{6}.\)

г) \(4a - \frac{a - 1}{4} - \frac{a + 2}{3} =\)

\(=\frac{4a}{1} ^{\color{blue}{\backslash12}} - \frac{a - 1}{4} ^{\color{blue}{\backslash3}} - \frac{a + 2}{3} ^{\color{blue}{\backslash4}} =\)

\(=\frac{48a-3(a - 1)-4(a + 2)}{12}=\)

\(=\frac{48a - 3a + 3 - 4a - 8}{12} = \frac{41a - 5}{12}.\)

д) \(\frac{a + b}{4} - a + b =\)

\(\frac{a + b}{4} - (a - b) =\)

\(\frac{a + b}{4} - \frac{a - b}{1} ^{\color{blue}{\backslash4}} =\)

\(=\frac{a + b - 4(a - b)}{4} =\)

\(=\frac{a + b - 4a + 4b}{4} = \frac{5b-3a}{4}.\)

е) \(a + b - \frac{a^2 + b^2}{a} =\)

\(=\frac{a + b}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} - \frac{a^2 + b^2}{a} =\)

\(= \frac{a(a + b) - a^2 - b^2}{a} =\)

\(= \frac{\cancel{a^2} + ab - \cancel{a^2} - b^2}{a} =\)

\(=\frac{ab - b^2}{a} .\)

Пояснения:

Использованные правила:

1) Выражения без знаменателей сначала записываем в виде дробей со знаменателем 1, затем для сложения/вычитания дробей приводят их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующих дробей на недостающие множители. После этого выполняют действия с числителями, оставляя общий знаменатель.

2) Приведение подобных слагаемых:

\(ax+bx=(a+b)x\).

3) Раскрытие скобок:

- противоположные выражения:

\(-(a-b) = -a+b;\)

- распределительное свойство умножения:

\(k(a+b)=ka+kb.\)