Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№32 учебника 2023-2025 (стр. 14):
Сократите дробь:
а) \(\displaystyle \frac{y^2 - 16}{3y + 12}\);
б) \(\displaystyle \frac{5x - 15y}{x^2 - 9y^2}\);
в) \(\displaystyle \frac{(c + 2)^2}{7c^2 + 14c}\);
г) \(\displaystyle \frac{6cd - 18c}{(d - 3)^2}\);
д) \(\displaystyle \frac{a^2 + 10a + 25}{a^2 - 25}\);
е) \(\displaystyle \frac{y^2 - 9}{y^2 - 6y + 9}\).
№32 учебника 2013-2022 (стр. 13):
Найдите значение дроби:
а) \(\displaystyle \frac{15a^2 - 10ab}{3ab - 2b^2}\)
при \(a=-2,\;b=-0{,}1\);
б) \(\displaystyle \frac{9c^2 - 4d^2}{18c^2d - 12cd^2}\)
при \(c=\tfrac{2}{3},\;d=\tfrac{1}{2}\);
в) \(\displaystyle \frac{6x^2 + 12xy}{5xy + 10y^2}\)
при \(x=\tfrac{2}{3},\;y=-0{,}4\);
г) \(\displaystyle \frac{x^2 + 6xy + 9y^2}{4x^2 + 12xy}\)
при \(x=-0{,}2,\;y=-0{,}6\).
№32 учебника 2023-2025 (стр. 14):
Вспомните:
№32 учебника 2013-2022 (стр. 13):
Вспомните:
№32 учебника 2023-2025 (стр. 14):
а) \(\displaystyle \frac{y^2 - 16}{3y + 12} = \frac{(y - 4)\,\cancel{(y + 4)}}{3\,\cancel{(y + 4)}} =\)
\(=\frac{y - 4}{3}.\)
б) \(\displaystyle \frac{5x - 15y}{x^2 - 9y^2} = \frac{5\,\cancel{(x - 3y)}}{\cancel{(x - 3y)}\,(x + 3y)} =\)
\(=\frac{5}{x + 3y}\)
в) \(\displaystyle \frac{(c + 2)^2}{7c^2 + 14c} = \frac{(c + 2)^{ \cancel{2}}}{7c\, \cancel{(c + 2)}} =\)
\(=\frac{c + 2}{7c}.\)
г) \(\displaystyle \frac{6cd - 18c}{(d - 3)^2} = \frac{6c\, \cancel{(d - 3)}}{ \cancel{(d - 3)}\,(d - 3)} =\)
\(=\frac{6c}{d - 3}.\)
д) \(\displaystyle \frac{a^2 + 10a + 25}{a^2 - 25} =\)
\(=\frac{(a + 5)^{ \cancel{2}}}{(a - 5)\, \cancel{(a + 5)}} = \frac{a + 5}{a - 5}.\)
е) \(\displaystyle \frac{y^2 - 9}{y^2 - 6y + 9} =\)
\(=\frac{ \cancel{(y - 3)}\,(y + 3)}{(y - 3)^{ \cancel{2}}} = \frac{y + 3}{y - 3}.\)
Пояснения:
1. Для сокращения раскладываем числитель и знаменатель на множители, используя следующие приемы:
- вынесение общего множителя за скобки:
\(ac + bc = (a + b)c\);
- Разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);
- Квадрат суммы двух выражений:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
- Квадрат разности двух выражений:
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
2. Находим общий множитель в числителе и знаменателе (например, \(y+4\), \(x-3y\), \(c+2\), \(d-3\), \(a+5\), \(y-3\)) и сокращаем его.
№32 учебника 2013-2022 (стр. 13):
а) \( \frac{15a^2 - 10ab}{3ab - 2b^2} = \frac{5a\cancel{(3a - 2b)}}{b\cancel{(3a - 2b)}} =\)
\(=\frac{5a}{b}\)
Если \(a=-2,\;b=-0{,}1\), то
\(\frac{5\cdot(-2)}{-0{,}1} = \frac{-10}{-0{,}1} = \frac{100}{1} = 100. \)
б) \( \frac{9c^2 - 4d^2}{18c^2d - 12cd^2} =\)
\(=\frac{\cancel{(3c - 2d)}(3c + 2d)}{6cd\cancel{(3c - 2d)}} = \frac{3c + 2d}{6d} \)
Если \(c=\frac{2}{3},\;d=\frac{1}{2}\), то
\(\frac{\cancel{3}\cdot\tfrac{2}{\cancel{3}} + \cancel{2}\cdot\tfrac{1}{\cancel{2}}}{_3 \cancel{6}\cdot\tfrac{1}{\cancel{2}}} = \frac{2 + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1. \)
в) \( \frac{6x^2 + 12xy}{5xy + 10y^2} = \frac{6x\cancel{(x + 2y)}}{5y\cancel{(x + 2y)}} = \frac{6x}{5y}\)
Если \(x=\frac{2}{3},\;y=-0{,}4\), то
\(\frac{6\cdot\tfrac{2}{3}}{5\cdot(-0{,}4)} = \frac{4}{-2} = -2. \)
г) \( \frac{x^2 + 6xy + 9y^2}{4x^2 + 12xy} = \frac{(x + 3y)^{\cancel{2}}}{4x\cancel{(x + 3y)}} =\)
\(=\frac{x + 3y}{4x}\)
Если \(x=-0{,}2,\;y=-0{,}6\), то
\(\frac{-0{,}2 + 3\cdot(-0{,}6)}{4\cdot(-0{,}2)} ==\frac{-0{,}2 - 1{,}8}{-0{,}8} =\)
\(=\frac{-2}{-0{,}8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}= 2{,}5. \)
Пояснения:
1. При сокращении дробей раскладывают числитель и знаменатель на множители (выносят общий множитель или применяют формулы: разность квадратов, полный квадрат) и сокращают общий множитель.
- вынесение общего множителя за скобки:
\(ac + bc = (a + b)c\);
- Разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);
- Квадрат суммы двух выражений:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
2. После упрощения в каждую дробь подставляют заданные числовые значения переменных, выполняют вычисления в числителе и в знаменателе, а затем делят числитель на знаменатель.
Вернуться к содержанию учебника