Упражнение 31 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{3a + 12b}{6ab} = \frac{\cancel{3}\,(a + 4b)}{_2\cancel{6}ab} = \frac{a + 4b}{2ab}.\)

б) \(\displaystyle \frac{15b - 20c}{10b} = \frac{ \cancel{5}\,(3b - 4c)}{_2  \cancel{10}b} =\)

\(=\frac{3b - 4c}{2b}.\)

в) \(\displaystyle \frac{2a - 4}{3\,(a - 2)} = \frac{2\, \cancel{(a - 2)}}{3\, \cancel{(a - 2)}} = \frac{2}{3}.\)

г) \(\displaystyle \frac{5x\,(y + 2)}{6y + 12} = \frac{5x\, \cancel{(y + 2)}}{6\, \cancel{(y + 2)}} = \frac{5x}{6}.\)

д) \(\displaystyle \frac{a - 3b}{a^2 - 3ab} = \frac{ \cancel{a - 3b}}{a\, \cancel{(a - 3b})} = \frac{1}{a}.\)

е) \(\displaystyle \frac{3x^2 + 15xy}{x + 5y} = \frac{3x\, \cancel{(x + 5y)}}{ \cancel{x + 5y}} = 3x.\)

Пояснения:

1. При сокращении дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители (используем вынесение общего множителя за скобки) и найти общий множитель.

2. Затем этот общий множитель (например, \(a-2\), \(y+2\), \(x+5y\), числовой множитель 3 или 5) выносится и сокращается.

а) \( \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3} =\)

\(=\frac{\cancel{a^2 - ab + b^2}}{(a + b)\cancel{(a^2 - ab + b^2)}} =\)

\(=\frac{1}{a + b}. \)

б) \( \frac{a^3 - b^3}{a - b} = \frac{\cancel{(a - b)}(a^2 + ab + b^2)}{\cancel{a - b}} =\)

\(=a^2 + ab + b^2.\)

в) \( \frac{(a + b)^3}{a^3 + b^3} = \frac{(a + b)^{\cancel{3}^2}}{\cancel{(a + b)}(a^2 - ab + b^2)} =\)

\(=\frac{(a + b)^2}{a^2 - ab + b^2}. \)

г) \( \frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2} = \frac{ \cancel{(a - b)}(a^2 + ab + b^2)}{ \cancel{(a - b)}(a + b)} =\)

\(=\frac{a^2 + ab + b^2}{a + b}.\)

Пояснения:

1. Формула разности кубов:

\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

2. Формула суммы кубов:

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). \)

3. Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

3. При сокращении дробей выделяем общий множитель (например,

\(a^2 - ab + b^2\), \(a - b\), \(a + b\)) в числителе и знаменателе и сокращаем него.