Упражнение 1253 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 279

а) \( xy^{-2} - x^{-2}y = \dfrac{x}{y^{2}} ^{\color{blue}{\backslash x^2}} - \dfrac{y}{x^{2}} ^{\color{blue}{\backslash y^2}} = \)

\(=\dfrac{x^{3} - y^{3}}{x^{2}y^{2}}. \)

б) \( \left(\dfrac{x}{y}\right)^{-1} + \left(\dfrac{x}{y}\right)^{-2} = \dfrac{y}{x} + \left(\dfrac{y}{x}\right)^{2} =\)

\(=\dfrac{y}{x} ^{\color{blue}{\backslash x}} + \dfrac{y^{2}}{x^{2}} = \dfrac{xy + y^2}{x^{2}}. \)

в) \( mn(n - m)^{-2} - n(m - n)^{-1} = \)

\(=\dfrac{mn}{(n - m)^{2}} - \dfrac{n}{m - n}= \)

\(=\dfrac{mn}{(m-n)^{2}} - \dfrac{n}{m-n} ^{\color{blue}{\backslash m-n}} =\)

\(=\dfrac{mn - n(m-n)}{(m-n)^{2}}=\)

\(=\dfrac{\cancel{mn} - \cancel{mn}+n^2}{(m-n)^{2}}=\)

\(=\dfrac{n^{2}}{(m-n)^{2}}. \)

г) \( (x^{-1} + y^{-1})(x^{-1} - y^{-1}) =\)

\(=(x^{-1})^{2} - (y^{-1})^{2} =x^{-2} - y^{-2} =\)

\(=\dfrac{1}{x^{2}} ^{\color{blue}{\backslash y^2}} - \dfrac{1}{y^{2}} ^{\color{blue}{\backslash x^2}} = \dfrac{y^{2} - x^{2}}{x^{2}y^{2}}. \)

Пояснения:

При выполнении преобразований использованы:

- Свойства степеней с отрицательными показателями:

\( a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}, \)

\( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}=\dfrac{b^n}{a^n},\)

\(a^m\cdot a^n = a^{m+n},\)

\((a^m)^n = a^{m\cdot n}.\)

- Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

- Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^ 2 = (b - a)^2\).

После замены степеней отрицательных показателей на обратные дроби выражения приводим к общему знаменателю и упрощаем.