Упражнение 1039 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((2n+3)(3n-7)-(n+1)(n-1)=\)

\(= 6n^2 -14n + 9n - 21 - (n^2 -1) =\)

\(= 6n^2 - 5n -21 - n^2 + 1 =\)

\(=5n^2 - 5n - 20 =\)

\(= 5\,(n^2 - n - 4), \) - делится на 5 при любом целом \(n\).

б)\((7n+8)(n-1)+(3n-2)(n+2)=\)

\(= 7n^2 + n - 8 + 3n^2 +4n -4=\)

\(=10n^2 +5n -12 =\)

\(= 10n^2 +5n - 15 + 3 = \)

\(= 5\,(2n^2 +n - 3) + 3 \) -  не делится на 5 при любом целом \(n\).

Пояснения:

Использованные формулы и приемы:

1. Умножение многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

2. Разность квадратов двух выражений:

\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\).

3. Вычитание многочленов: у вычитаемого многочлена при раскрытии скобок меняем знаки у всех членов на противоположные:

\(a - (b + c) = a- b - c\).

4. Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

5. Свойства делимости:

пункт а): если в произведении один из множителей делится на какое-либо число, то и все произведение делится на это число;

пункт б): если в сумме одно из слагаемых делится на какое-либо число, а другое слагаемое не делится на это число, то сумма на это число не делится.

Пусть \(x\) - число пакетов по 3 кг,  \(y\) - число пакетов по 2 кг.

Составим уравнение по общей массе:

\(3x + 2y = 20,\) откуда:

\(x = \frac{20 - 2y}{3}.\)

Подберём целые неотрицательные значения \(y\), при которых числитель делится на 3:

Если \(y=0\), то \(x = \frac{20 - 0}{3} = \frac{20}{3}\) (не целое).

Если \(y=1\), то \(x = \frac{20 - 2}{3} = \frac{18}{3} = 6.\)

Если \(y=2\), то \(x = \frac{20 - 4}{3} = \frac{16}{3}\) (не целое).

Если \(y=3\), то \(x = \frac{20 - 6}{3} = \frac{14}{3}\) (не целое).

Если \(y=4\), то \(x = \frac{20 - 8}{3} = \frac{12}{3} = 4.\)

Если \(y=5\), то \(x = \frac{20 - 10}{3} =\frac{10}{3}\) (не целое).

Если \(y=6\), то \(x = \frac{20 - 12}{3} = \frac{8}{3}\) (не целое).

Если \(y=7\), то \(x = \frac{20 - 14}{3} = \frac{6}{3} = 2.\)

Если \(y=8\), то \(x = \frac{20 - 16}{3} = \frac{4}{3}\) (не целое).

Если \(y=9\), то \(x = \frac{20 - 18}{3} = \frac{2}{3}\) (не целое).

Если \(y=10\), то \(x = \frac{20 - 20}{3} = 0.\)

Ответ:  6 пакетов по 3 кг и 1 пакет по 2 кг; 

4 пакета по 3 кг и 4 пакета по 2 кг;

2 пакета по 3 кг и 7 пакетов по 2 кг;

0 пакетов по 3 кг и 10 пакетов по 2 кг.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

– Составление линейного уравнения по условию задачи.

– Выражение одной переменной через другую.

– Поиск целочисленных решений методом подбора.

1. Обозначения:

\(x\) — число пакетов по 3 кг, \(y\) — число пакетов по 2 кг.

2. Уравнение:

Общая масса равна 20 кг, значит \(3x + 2y = 20\).

3. Решение:

Выразили \(x\) через \(y\): \(x = \frac{20 - 2y}{3}\), затем подобрали неотрицательные \(y\), при которых дробь становится целой.

4. Результат:

Возможные варианты:

– 6 пакетов по 3 кг и 1 пакет по 2 кг;

– 4 пакета по 3 кг и 4 пакета по 2 кг;

– 2 пакета по 3 кг и 7 пакетов по 2 кг;

– 0 пакетов по 3 кг и 10 пакетов по 2 кг.