Упражнение 1032 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2(x + 2y) - x - 2y =\)

\(=x^2(x + 2y) - 1\cdot(x + 2y) =\)

\(=(x + 2y)(x^2 - 1) = \)

\(=(x + 2y)(x - 1)(x + 1);\)

б) \(x^2(2y - 5) - 8y + 20 =\)

\(=x^2(2y - 5) - 4\cdot(2y - 5) =\)

\(=(2y - 5)(x^2 - 4) =\)

\(=(2y - 5)(x - 2)(x + 2);\)

в) \(a^3 - 5a^2 - 4a + 20 =\)

\(=a^2(a - 5) - 4(a - 5) =\)

\(=(a - 5)(a^2 - 4) =\)

\(=(a - 5)(a - 2)(a + 2);\)

г) \(x^3 - 4x^2 - 9x + 36 =\)

\(=x^2(x - 4) - 9(x - 4) =\)

\(=(x - 4)(x^2 - 9) =\)

\(=(x - 4)(x - 3)(x + 3).\)

Пояснения:

Использованные приёмы:

1. Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

2. Вынесение общего множителя за скобки:

\(ax + bx = (a + b)x\).

а) В выражении \(x^2(x + 2y) - x - 2y\) заметили общий множитель \((x + 2y)\) в первых двух слагаемых. Вынесли его, получили \(x^2 - 1\), а затем разложили разность квадратов.

б) В первых двух слагаемых

\(x^2(2y - 5)\) и \(-4(2y - 5)\) общий множитель \((2y - 5)\). После вынесения получился множитель \(x^2 - 4\), который раскладывается как разность квадратов.

в) Группировка:

\(a^2(a - 5)\) и \(-4(a - 5)\).

Вынесли общий множитель \((a - 5)\), внутри оказалось \(a^2 - 4\) – разность квадратов.

г) Группировка:

\(x^2(x - 4)\) и \(-9(x - 4)\). Вынесли \((x - 4)\), а \(x^2 - 9\) разложили по формуле разности квадратов.

а) \( 3x + 2y = 12\)

\(2y = 12 - 3x\)

\(y = \frac{12 - 3x}{2}. \)

Найдём три решения (подставим значения \(x\)):

\(x = 0\):

\(y = \frac{12 - 3 \cdot 0}{2} = \frac{12}{2} = 6\) → (0; 6)

\(x = 2\):

\(y = \frac{12 - 3 \cdot 2}{2} = \frac{6}{2} = 3\) → (2; 3)

\(x = 4\):

\(y = \frac{12 - 3 \cdot 4}{2} = \frac{0}{2} = 0\) → (4; 0)

Ответ: \(y = \frac{12 - 3x}{2};\) решения уравнения: (0; 6); (2; 3); (4; 0).

б) \( 5y - 2x = 1\)

\(5y = 1 + 2x \)

\(y = \frac{1 + 2x}{5}. \)

Найдём три решения (подставим значения \(x\)):

\(x = 0\):

\(y = \frac{1 + 0}{5} = \frac{1}{5}\) → (0; 0,2)

\(x = 2\):

\(y = \frac{1 + 4}{5} = \frac{5}{5} = 1\) → (2; 1)

\(x = 4\):

\(y = \frac{1 + 8}{5} = \frac{9}{5} = 1.8\) → (4; 1,8)

Ответ: \(y = \frac{1 + 2x}{5};\)  решения уравнения: (0; 0,2); (2; 1); (4; 1,8).

Пояснения:

Как выразить \(y\) через \(x\):

Переносим все слагаемые с \(x\) в правую часть, затем делим обе стороны на коэффициент при \(y\).

а) Уравнение \(3x + 2y = 12\)

\[ 2y = 12 - 3x \Rightarrow y = \frac{12 - 3x}{2} \]

б) Уравнение \(5y - 2x = 1\)

\[ 5y = 2x + 1 \Rightarrow y = \frac{2x + 1}{5} \]

Как найти решения:

Подставляем произвольные значения переменной \(x\) и вычисляем соответствующее \(y\) по найденной формуле.

Каждая пара чисел \((x; y)\), полученная таким образом, является решением уравнения.