Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№731 учебника 2023-2025 (стр. 153):
Докажите тождество:
а) \(a x - y + x - a y = (x - y)(a + 1);\)
б) \(a x - 2b y + a y - 2b x = (a - 2b)(x + y).\)
№731 учебника 2013-2022 (стр. 155):
Одно из двух целых чисел при делении на 9 даёт остаток 7, а другое даёт остаток 5. Какой остаток получится при делении на 9 их произведения?
№731 учебника 2023-2025 (стр. 153):
Вспомните:
№731 учебника 2013-2022 (стр. 155):
Вспомните:
№731 учебника 2023-2025 (стр. 153):
а) \(a x - y + x - a y = (x - y)(a + 1)\)
\( a x - y + x - a y =\)
\(=(a x + x) - (y + a y) =\)
\(=x\,(a + 1) - y\,(1 + a) =\)
\(=x\,(a + 1) - y\,(a + 1) =\)
\(=(x - y)\,(a + 1). \)
Тождество доказано.
б) \(a x - 2b y + a y - 2b x = (a - 2b)(x + y)\)
\( a x - 2b y + a y - 2b x =\)
\(=(a x + a y) - (2b y + 2b x) =\)
\(=a\,(x + y) - 2b\,(y + x) =\)
\(=a\,(x + y) - 2b\,(x + y) =\)
\(=(a - 2b)\,(x + y). \)
Тождество доказано.
Пояснения:
Использованные правила:
1. Группировка однотипных слагаемых.
2. Вынесение общего множителя за скобку:
\(A\cdot X + B\cdot X = (A+B)\,X,\)
\(A\cdot X - B\cdot X = (A-B)\,X,\)
Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.
3. Перестановка слагаемых не меняет результат:
\(A + B = B + A\).
Комментарий к пункту а):
В левой части равенства сгруппировали первое и третье слагаемые, второе и четвертое слагаемые:
\((a x + x)\) и \((y + a y)\).
Вынесли общие множители \(x\) и \(y\) соответственно, получили общий множитель \((a + 1)\), который вынесли за скобку, и получили правую часть равенства, а это говорит о том, что тождество доказано.
Комментарий к пункту б):
В левой части равенства сгруппировали первое и третье слагаемые, второе и четвертое слагаемые:
\((a x + a y)\) и \((2b y + 2b x)\).
Вынесли общие множители \(a\) и \(2b\) соответственно, получили общий множитель \((x + y)\), который вынесли за скобку, и получили правую часть равенства, а это говорит о том, что тождество доказано.
№731 учебника 2013-2022 (стр. 155):
\(a = 9k + 7,\quad b = 9m + 5\)
\(ab= (9k + 7)(9m + 5) =\)
\(= 81km + 45k + 63m + 35 =\)
\(= 9\cdot9km + 9\cdot5k + 9\cdot7m + 27 + 8 =\)
\(=9\cdot(9km + 5k + 7m + 3) + 8\)
\(9km + 5k + 7m + 3\) - частное.
\(8\) - остаток.
Ответ: остаток равен 8.
Пояснения:
1. Деление с остатком. Любое целое число \(n\) при делении на 9 представляется как \(n=9q+r\), где \(0\le r<9\).
2. Представление чисел. По условию при делении на 9 числа \(a\) и \(b\) имеют остатки 7 и 5 соответственно, значит, \(a=9k+7\), \(b=9m+5\).
3. Умножение многочлена на многочлен. Каждый член одного многочлена умножаем на каждый член второго многочлена.
4. Выделение множителя. Выделяем у слагаемых общий множитель 9 и выносим его за скобки.
5. Нахождение остатка. После выделения множителя 9, оставшаяся часть равна 8, поэтому произведение даёт при делении на 9 остаток 8.
Вернуться к содержанию учебника