Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№574 учебника 2023-2026 (стр. 165):
Найдите:
а) сумму \(2+4+6+\ldots+2n\), слагаемыми которой являются все чётные натуральные числа от \(2\) до \(2n\);
б) сумму \(1+3+5+\ldots+(2n-1)\), слагаемыми которой являются все нечётные натуральные числа от \(1\) до \(2n-1\).
№574 учебника 2014-2022 (стр. 147):
Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение:
а) \(81\cdot3^{-6}\);
б) \(\dfrac{(-3^{-3})^3}{-9^{-2}}\);
в) \(9^{-5}\cdot\left(\dfrac{1}{9}\right)^{-3}\);
г) \((-3^{-3})^2\cdot27^3\).
№574 учебника 2023-2026 (стр. 165):
Вспомните:
№574 учебника 2014-2022 (стр. 147):
Вспомните:
№574 учебника 2023-2026 (стр. 165):
а) \(2,4,6,\ldots,2n\) - арифметическая прогрессия, \(d = 2\).
\(a_1=2,\ a_n=2n,\)
\(n\) — число членов.
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}=\)
\(=\dfrac{(2+2n)n}{2}=\dfrac{\cancel2(1+n)n}{\cancel2}\)
\(=(1+n)n = n + n^2\).
Ответ: \(S_n= n + n^2\).
б) \(1,3,5,\ldots,(2n-1)\) - арифметическая прогрессия, \(d = 2\).
\(a_1=1,\ a_n=2n-1,\)
\(n\) — число членов.
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}=\)
\(=\dfrac{(1+2n-1)n}{2}=\)
\(=\dfrac{\cancel2n\cdot n}{\cancel2}=n^2\).
Ответ: \(S_n=n^2\).
Пояснения:
В пункте а) рассматривается арифметическая прогрессия чётных чисел. Каждый следующий член увеличивается на \(2\), поэтому всего таких чисел от \(2\) до \(2n\) ровно \(n\).
Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
\[S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.\]
Подставляя \(a_1=2\) и \(a_n=2n\), получаем сумму \(S_n= n + n^2\).
В пункте б) рассматривается арифметическая прогрессия нечётных чисел. Первый член равен \(1\), последний равен \(2n-1\), и также всего \(n\) членов.
Подстановка в формулу суммы приводит к результату \(n^2\), что означает: сумма первых \(n\) нечётных натуральных чисел равна квадрату числа \(n\).
№574 учебника 2014-2022 (стр. 147):
а) \(81\cdot3^{-6} =3^4\cdot3^{-6}=3^{4-6}=\)
\(=3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}\).
б) \(\dfrac{(-3^{-3})^3}{-9^{-2}}=\dfrac{-3^{-9}}{-(3^2)^{-4}}=\dfrac{-3^{-9}}{-3^{-4}}=\)
\(=3^{-9-(-4)}=3^{-9 + 4}=3^{-5}=\)
\(=\dfrac{1}{3^5}=\dfrac{1}{243}\).
в) \(9^{-5}\cdot\left(\dfrac{1}{9}\right)^{-3}=9^{-5}\cdot9^3=\)
\(=9^{-5+3} = 9^{-2} = (3^2)^{-2} = 3^{-4} =\)
\(=\dfrac{1}{3^4}=\dfrac{1}{81}\).
г) \((-3^{-3})^2\cdot27^3=3^{-6}\cdot(3^3)^3=\)
\(=3^{-6}\cdot3^9=3^{-6+9}=3^3=27\).
Пояснения:
Использованные свойства степеней:
\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
\(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)
\((a^m)^n=a^{mn}\)
\(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\)
Во всех заданиях числа \(9,\ 27,\ 81\) были представлены как степени числа \(3\). После этого выражения упрощались с помощью свойств степеней, и находилось их числовое значение.
Вернуться к содержанию учебника