Упражнение 1125 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 4x - x^3 = x(4 - x^2) =\)

\(=x(2 - x)(2 + x) \).

б) \( a^4 - 169a^2 = a^2(a^2 - 169) =\)

\(=a^2(a - 13)(a + 13) \).

в) \( c^3 - 8c^2 + 16c = \)

\(=c(c^2 - 8c + 16) = \)

\(=c(c - 4)^2 \).

Пояснения:

Основные формулы и приемы:

1. Вынесение общего множителя за скобки:

\[ ab + ac = a(b + c) \]

2. Разность квадратов:

\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]

3. Квадрат двучлена:

\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. \]

\((a - 1)(a - 2)(a - 5)(a - 6) + 9=\)

\( =(a - 1)(a - 6)(a - 2)(a - 5) + 9 =\)

\(= (a^2 - 6a -a+6)(a^2 -5a -2a + 10) + 9=\)

\(= (a^2 - 7a+6)(a^2 -7a + 10) + 9\)

Пусть \(a^2 - 7a = m\), тогда

\((m+6)(m + 10) + 9=\)

\(=m^2 +10m + 6m + 60 + 9 = \)

\(=m^2 + 16m + 69 =\)

\(=(m^2 + 16m + 64) + 5 = \)

\(=(m + 8)^2 + 5\)

\((m+8)^2 \ge 0 \) при любом \(m\), значит, наименьшее значение выражения равно \(5\) при \((m+8)^2 = 0 \).

Ответ: наименьшее значение выражения равно \(5\).

Пояснения:

Сначала перемножаем крайние множители друг с другом и средние множители друг с другом, в каждом произведении получаем выражение \(a^2 - 7a\), которое заменяем новой переменой \(m\), тогда имеем:

\((m+6)(m + 10) + 9\),

откуда, выполнив умножение получаем:

\(m^2 + 16m + 69\).

В полученном выражении выделяем квадрат двучлена:

\((m + 8)^2 + 5\).

Учитывая то, что \((m+8)^2 \ge 0 \) при любом \(m\), наименьшее значение рассматриваемого выражения равно \(5\) при \((m+8)^2 = 0 \).