Упражнение 916 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) Интервалу \((-4; 6,5)\) принадлежат числа: \(-3; 5; -3,9\).

б) Отрезку \([-8; -5]\) принадлежат числа: \( -8; -5,5; -5; -6; -7,5\)?

Пояснения:

Интервал \((a; b)\) — множество чисел между \(a\) и \(b\), без самих \(a\) и \(b\).

Отрезок \([a; b]\) — множество чисел от \(a\) до \(b\), включая концы.

а) \((x+1)^2 \ge 4x\)

\((x+1)^2-4x = \)

\(=x^2+2x+1-4x = \)

\(=x^2-2x+1=(x-1)^2 \ge 0.\)

Неравенство доказано.

б) \((3b+1)^2 > 6b\)

\((3b+1)^2-6b =\)

\(=9b^2+\cancel{6b}+1-\cancel{6b} =\)

\(=9b^2+1>0.\)

Неравенство доказано.

в) \(4(x+2) < (x+3)^2 - 2x\)

\(4(x+2) - ((x+3)^2 - 2x)=\)

\(=4x + 8-(x+3)^2 + 2x =\)

\(=4x + 8 - (x^2 + 6x + 9) + 2x =\)

\(=\cancel{4x} + 8 -x^2 - \cancel{6x} - 9 + \cancel{2x} =\)

\(=-x^2 - 9 = -(x^2 + 9) < 0\)

Неравенство доказано.

г) \(1+(m+2)^2 > 3(2m-1)\).

\(1+(m+2)^2-3(2m-1) =\)

\(=1+m^2+4m+4-6m+3 =\)

\(=m^2-2m+8=\)

\(=(m^2-2m+1)+7=\)

\(= (m-1)^2+7>0\)

Неравенство доказано.

Пояснения:

При доказательстве находим разность левой и правой частей неравенства и учитываем то, что:

- если \(a - b < 0\), то \(a < b\),

- если \(a - b > 0\), то \(a > b\).

Использованные приемы:

- квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

- распределительное свойство умножения:

\(k(a+b) = ka + kb\);

- противоположные выражения:

\(-(a - b) = b - a\).