Упражнение 912 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((3; 7)\) — интервал.

б) \([1; 6]\) — числовой отрезок.

в) \((-\infty; 5)\) — открытый числовой луч.

г) \([12; +\infty)\) — числовой луч.

д) \((-\infty; 3]\) — числовой луч.

е) \((15; +\infty)\) — открытый числовой луч.

Если \(x+y+z=1\), то

\( \sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le 5. \)

\( \sqrt{4x+1}\le \frac{(4x+1)+1}{2}\)

\( \sqrt{4x+1}\le \frac{4x+2}{2}\)

\( \sqrt{4x+1}\le \frac{\cancel2(2x+1)}{\cancel2}\)

\( \sqrt{4x+1}\le2x+1\)

Аналогично,

\(\sqrt{4y+1}\le 2y+1\),

\(\sqrt{4z+1}\le 2z+1. \)

Складываем неравенства:

\( \sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1} \le (2x+1)+(2y+1)+(2z+1)\)

\( \sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1} \le (2x+2y+ 2z)+3\)

\(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1} \le2(x+y+z)+3\)

\(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1} \le2 \cdot 1+3\)

\(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1} \le5\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Использованное свойство:

для любого \(u\ge0\):

\( (\sqrt{u}-1)^2\ge0 \), то есть по формуле квадрата разности имеем:

\(u-2\sqrt{u}+1\ge0 \), откуда

\(2\sqrt{u}\le u+1 \), значит,

\(\sqrt{u}\le \frac{u+1}{2}. \)

Применили это свойство к каждому выражению \(4x+1,\;4y+1,\;4z+1\) и учли то, что \(x+y+z=1\).