Упражнение 495 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\)

\( =\frac{(\sqrt{x})^2\cdot\sqrt{x}-(\sqrt{y})^2\cdot\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\)

\(=\frac{(\sqrt{x})^3-(\sqrt{y})^3}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\)

\(=\frac{\cancel{(\sqrt{x}-\sqrt{y}})\bigl((\sqrt{x})^2+\sqrt{x}\,\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2\bigr)}{\cancel{\sqrt{x}-\sqrt{y}}} =\)

\(= x + \sqrt{x\,y} + y. \)

б) \( \frac{2\sqrt{2}-x\sqrt{x}}{2+\sqrt{2x}+x} =\)

\(= \frac{(\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{2}-(\sqrt{x})^2\cdot\sqrt{x}}{2+\sqrt{2x}+x} =\)

\( =\frac{(\sqrt{2})^3-(\sqrt{x})^3}{2+\sqrt{2x}+x} =\)

\(=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{x})\,((\sqrt{2})^2 + \sqrt{2}\cdot\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2)}{2+\sqrt{2x}+x} =\)

\(=\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{x})\,\cancel{(2 + \sqrt{2x} + x)}}{\cancel{2+\sqrt{2x}+x}} =\)

\(=\sqrt{2}-\sqrt{x}. \)

Пояснения:

Использованные формулы и приёмы:

1. Свойства корня:

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\).

2. Представление \(k\sqrt{k}=(\sqrt{k})^3\) позволяет применять формулу разности кубов:

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).

3. После разложения на множители в числителе и знаменателе одинаковые множители сокращаются.

\(\frac{ma}{mb} = \frac{a}{b}\).

а) \( x - 4\sqrt{x-1} + 3 =\)

\( =x - 1 - 4\sqrt{x-1} + 3 + 1 =\)

\(=(\sqrt{x-1})^2 - 4\sqrt{x-1} + 4 =\)

\(=(\sqrt{x-1})^2 - 2\cdot2\sqrt{x-1} + 2^2 =\)

\(=\bigl(\sqrt{x-1} - 2\bigr)^2. \)

б) \( y + 2\sqrt{y+2} + 3 =\)

\( y + 2 + 2\sqrt{y+2} + 3 - 2 =\)

\(=(\sqrt{y+2})^2 + 2\sqrt{y+2} + 1 =\)

\(=(\sqrt{y+2})^2 + 2\cdot1\sqrt{y+2} + 1^2 =\)

\(=\bigl(\sqrt{y+2} + 1\bigr)^2. \)

Пояснения:

Использованные формулы:

1. Квадрат разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

2. Квадрат суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

3. При преобразовании выражений учитываем то, что значение выражения не изменяется, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число.

4. Свойства корня:

\((\sqrt{a})^2 = a\).