Упражнение 494 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\frac{x^2 - 3xy + y^2}{x + y + 2}\)

Если \(x = 3 + \sqrt5\) и \(y = 3 - \sqrt5\), то

\(\frac{(3 + \sqrt5)^2 - 3(3 + \sqrt5)(3 - \sqrt5) + (3 - \sqrt5)^2}{(3 + \sqrt5) + (3 - \sqrt5) + 2}=\)

\(=\frac{3^2 + 2\cdot3\cdot\sqrt5 + (\sqrt5)^2 - 3(3^2 - (\sqrt5)^2) + 3^2 - 2\cdot3\cdot\sqrt5 + (\sqrt5)^2}{(3 + \sqrt5) + (3 - \sqrt5) + 2}=\)

\(=\frac{9 + \cancel{6\sqrt5} + 5 - 3(9 - 5) + 9 - \cancel{6\sqrt5} + 5}{3 + \cancel{\sqrt5} + 3 - \cancel{\sqrt5} + 2}=\)

\(=\frac{9 + 5 - 12 + 9 + 5}{3 + 3 + 2}=\frac{16}{8}=2\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Чтобы найти значение выражения вместо переменных \(x\) и \(y\) подставляем, соответствующие им значения, и выполняем преобразования.

2. Разность квадратов:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

3. Квадрат суммы и квадрат разности:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

4. Свойства корня и степени:

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\((k\sqrt{x})^2 = k^2x\).

а) \((1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x} + x) =\)

\(=1^3 - (\sqrt{x})^3 =1 - x\sqrt{x}.\)

б) \((\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4)=\)

\(=(\sqrt{a})^3 + 2^3 =a\sqrt{a} + 8 \).

в) \((\sqrt{m} - \sqrt{n})(m + n + \sqrt{mn})=\)

\(=(\sqrt{m})^3 - (\sqrt{n})^3 = m\sqrt{m} - n\sqrt{n}\).

г) \((x + \sqrt{y})(x^2 + y - x\sqrt{y})=\)

\(=x^3 + (\sqrt{y})^3 = x^3 + y\sqrt{y}\).

Пояснения:

Использованные формулы:

– Сумма кубов:

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\);

– Разность кубов:

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

Свойства корня и степени:

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\((\sqrt{x})^3 = (\sqrt{x})^2\cdot\sqrt{x} = x\sqrt{x}\);