Упражнение 462 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\sqrt{x^3}\)

\(x^3 \ge 0\)

\(x \ge 0\)

Ответ: \(x \ge 0\).

б) \(\sqrt{x^4}\)

\(x^4 \ge 0\)

\(x\) - любое число.

Ответ: \(x\) - любое число.

в) \(\sqrt{x^2+1}\)

\(x^2 + 1 \ge 0\)

\(x\) - любое число.

Ответ: \(x\) - любое число.

г) \(\sqrt{(4 - x)^2}\)

\((4 - x)^2 \ge 0\)

\(x\) - любое число.

Ответ: \(x\) - любое число.

д) \(\sqrt{-x^2}\);

\(-x^2 \ge 0\)

\(x= 0\)

Ответ: \(x= 0\).

е) \(\sqrt{-x^3}\).

\(-x^3 \ge 0\)

\(x \le 0\)

Ответ: \(x \le 0\).

Пояснения:

Правило области определения корня:

\(\sqrt{a}\) имеет смысл только при \(a \ge 0\).

Для выражений вида \(x^n\):

— если показатель чётный

(\(n=2,4,\dots\)), то \(x^n \ge 0\) для всех \(x\);

— если показатель нечётный

(\(n=3,5,\dots\)), то знак \(x^n\) совпадает со знаком \(x\).

\(a\) - рациональное число,

\(b\) - иррациональное число.

а) \(a + b\) — иррациональное.

б) \(a - b\) — иррациональное.

Пояснения:

Правила:

— Сумма рационального и иррационального числа всегда иррациональна.

— Разность рационального и иррационального числа всегда иррациональна.

Обоснование (доказательство от противного):

Предположим, что \(a+b\) рациональное число. Поскольку \(a\) рациональное число, то

\[ b = (a+b) - a \]

есть разность двух рациональных чисел \(a+b\) и \(a\), а значит рациональна. Противоречие с тем, что \(b\) иррационально. Следовательно, \(a+b\) иррационально.

Аналогично для \(a-b\): если бы \(a-b\) было бы рациональным числом, то

\[ b = a - (a-b) \]

тоже было бы рациональным. Противоречие с тем, что \(b\) иррационально. Следовательно, \(a-b\) иррационально.