Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№424 учебника 2023-2025 (стр. 101):
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\displaystyle \frac{x}{\sqrt{5}}\);
б) \(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{b}}\);
в) \(\displaystyle \frac{2}{7\sqrt{y}}\);
г) \(\displaystyle \frac{a}{b\sqrt{b}}\);
д) \(\displaystyle \frac{4}{\sqrt{a+b}}\);
е) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a-b}}\);
ж) \(\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{3}}\);
з) \(\displaystyle \frac{8}{3\sqrt{2}}\);
и) \(\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}\).
№424 учебника 2013-2022 (стр. 102):
Выполните действия:
а) \((2\sqrt5 + 1)(2\sqrt5 - 1)\);
б) \((5\sqrt7 - \sqrt{13})(\sqrt{13} + 5\sqrt7)\);
в) \((3\sqrt2 - 2\sqrt3)(2\sqrt3 + 3\sqrt2)\);
г) \((1 + 3\sqrt5)^2\);
д) \((2\sqrt3 - 7)^2\);
е) \((2\sqrt{10} - \sqrt2)^2\).
№424 учебника 2023-2025 (стр. 101):
Вспомните:
№424 учебника 2013-2022 (стр. 102):
Вспомните:
№424 учебника 2023-2025 (стр. 101):
а) \(\frac{x}{\sqrt{5}}=\frac{x\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}= \frac{x\sqrt{5}}{5}.\)
б) \( \frac{3}{\sqrt{b}}=\frac{3\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}= \frac{3\sqrt{b}}{b}.\)
в) \(\frac{2}{7\sqrt{y}}= \frac{2\cdot\sqrt{y}}{7\sqrt{y}\cdot\sqrt{y}}= \frac{2\sqrt{y}}{7y}.\)
г) \(\frac{a}{b\sqrt{b}}= \frac{a\cdot\sqrt{b}}{b\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b\cdot b}=\)
\(=\frac{a\sqrt{b}}{b^2}.\)
д) \(\frac{4}{\sqrt{a+b}}= \frac{4\cdot\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}\cdot\sqrt{a+b}} =\)
\(=\frac{4\sqrt{a+b}}{a+b}.\)
е) \(\frac{1}{\sqrt{a-b}}= \frac{1\cdot\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}\cdot\sqrt{a-b}} =\)
\(=\frac{\sqrt{a-b}}{a-b}.\)
ж) \(\frac{5}{2\sqrt{3}}= \frac{5\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{5\cdot\sqrt{3}}{2\cdot3}=\)
\(=\frac{5\sqrt{3}}{6}.\)
з) \(\frac{8}{3\sqrt{2}}= \frac{8\cdot\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{^4\cancel{8}\sqrt{2}}{3\cdot\cancel{2}_1} =\)
\(=\frac{4\sqrt{2}}{3}.\)
и) \(\frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}= \frac{3\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}}{5\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{10}}{5\cdot2}=\)
\(=\frac{3\sqrt{10}}{10}.\)
Пояснения:
Основное правило избавления от иррациональности в знаменателе дроби:
Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на подходящий корень, тем самым в знаменателе получается произведение корня на себя, равное подкоренному выражению.
Свойства корня:
\(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x\);
\(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\).
№424 учебника 2013-2022 (стр. 102):
а) \((2\sqrt5 + 1)(2\sqrt5 - 1) = \)
\(=(2\sqrt5)^2 - 1^2 =4\cdot5 - 1 =\)
\(=20 - 1 = 19.\)
б) \((5\sqrt7 - \sqrt{13})(\sqrt{13} + 5\sqrt7) =\)
\(=(5\sqrt7)^2 - (\sqrt{13})^2 = 25\cdot7 - 13 =\)
\(=175 - 13 = 162.\)
в) \((3\sqrt2 - 2\sqrt3)(2\sqrt3 + 3\sqrt2) =\)
\(=(3\sqrt2)^2 - (2\sqrt3)^2 = 9\cdot2 - 4\cdot3 =\)
\(=18 - 12 = 6.\)
г) \((1 + 3\sqrt5)^2 =\)
\(=1^2 + 2\cdot1\cdot3\sqrt5 + (3\sqrt5)^2 =\)
\(=1 + 6\sqrt5 + 9\cdot5 =\)
\(=1 + 6\sqrt5 + 45 = 46 + 6\sqrt5.\)
д) \((2\sqrt3 - 7)^2 =\)
\(=(2\sqrt3)^2 - 2\cdot2\sqrt3\cdot7 + 7^2 =\)
\(=4\cdot3 - 28\sqrt3 + 49 = \)
\(=12 + 49 - 28\sqrt3 = 61 - 28\sqrt3.\)
е) \((2\sqrt{10} - \sqrt2)^2 = \)
\(=(2\sqrt{10})^2 - 2\cdot2\sqrt{10}\cdot\sqrt2 + (\sqrt2)^2=\)
\(= 4\cdot10 - 4\sqrt{20} + 2 = \)
\(= 40 - 4\sqrt{4\cdot5} + 2 = \)
\(=40 + 2 - 4\cdot2\sqrt5 = 42 - 8\sqrt5.\)
Пояснения:
Использованные формулы и приемы:
– Формула разности квадратов:
\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \)
– Формулы квадрата суммы и квадрата разности:
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
– Свойства корня:
\((\sqrt{a})^2 = a\);
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\).
– Квадрат произведения:
\(\bigl(k\sqrt{a}\bigr)^2 = k^2a\).
Вернуться к содержанию учебника