Упражнение 253 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{\frac{1}{x-2}+\frac{x}{x+2}}{\frac{3x}{x^2-4}}\)

\(x-2\neq0\;\Rightarrow\;x\neq2,\)

\(x+2\neq0\;\Rightarrow\;x\neq-2,\)

\(x^2-4\neq0\;\Rightarrow\;x\neq\pm2,\)

\(\tfrac{3x}{x^2-4}\neq 0 \) 

\(3x\neq0\;\Rightarrow\;x\neq0.\)

Ответ: все числа кроме \(-2,0\) и \(2.\)

б) \(\displaystyle \frac{1}{\,1-\frac{1}{\,1-\frac{1}{x}\,}\,}\)

\(x\neq0\) 

\(1-\tfrac1x\neq0\;\Rightarrow\;x\neq1,\)

\(1-\frac{1}{\,1-\tfrac1x\,}\neq0\).

\(\displaystyle 1-\frac{1}{\,1-\tfrac1x\,} =\frac{(1-\tfrac1x)-1}{1-\tfrac1x} =-\frac{1/x}{1-1/x} \neq0\)

Ответ: все числа кроме \(x\neq0,1.\)

Пояснения:

В каждом случае выписали все подвыражения, стоящие в знаменателях, и приравняли их к нулю для исключения недопустимых \(x\).

В пункте а) дополнительно потребовалось, чтобы дробь \(\tfrac{3x}{x^2-4}\) не обращалась в ноль (числитель ≠ 0).

В пункте б) проверили вложенную дробь \(\;1-\tfrac1x\), а затем убедились, что внешнее выражение \(1-\frac1{1-\tfrac1x}\) не обнуляется при тех же условиях.

 \(\displaystyle y = \frac{k}{x};\) \(P(-9;18):\)

\(\displaystyle 18 = \frac{k}{-9}\)   \(|\times-9\)

\(18 \cdot (-9)= k \)

\( k =  -162.\)

Ответ:  \(k = -162\).

Пояснения:

График функции \(y = \dfrac{k}{x}\) — это гипербола с параметром \(k\). График проходит через все точки, на которых произведение координат \(xy\) равно \(k\).

Чтобы найти \(k\), достаточно взять любую точку \((x,y)\) на гиперболе и подставить ее координаты в формулу. В нашем случае \(k = -162\), что подтверждает расположение гиперболы через точку \(P\).