Упражнение 234 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\frac{1}{(a - b)(b - c)} ^{\color{red}{\backslash{c-a}}} + \frac{1}{(c - a)(a - b)} ^{\color{red}{\backslash{b-c}}} + \frac{1}{(b - c)(c - a)} ^{\color{red}{\backslash{a-b}}} = \)

\(\frac{c-a}{(a - b)(b - c)(c - a)}  + \)

\(+\frac{b-c}{(a - b)(b - c)(c - a)} +\)

\(+\frac{a-b}{((a - b)(b - c)(c - a)} = \)

\(=\frac{c - a + b - c + a - b}{(a - b)(b - c)(c - a)} = \)

\(=\frac{0}{(a - b)(b - c)(c - a)} =0\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

– Чтобы сложить дроби, приводим их к общему знаменателю.

– При сложении дробей с одинаковым знаменателем суммируем числители.

– В числителе получилась сумма трёх выражений, которые взаимно уничтожаются: \((c-a)+(b-c)+(a-b)=0\).

– Любая дробь с числителем 0 равна 0 при ненулевом знаменателе.

а) \(\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 3}=\frac{ (x-3)x + 6}{x - 3}=\)

\(=x+\frac{6}{x - 3};\)

б) \(\frac{y^2 + 5y - 8}{y + 5}=\frac{y(y + 5) - 8}{y + 5}=\)

\(=y-\frac{8}{y + 5}\)

в) \(\frac{a^2 + 7a + 2}{a + 6}=\frac{a^2 + 6a+a + 2}{a + 6}=\)

\(=\frac{a(a + 6)+a + 2}{a + 6}=a+\frac{a + 2}{a + 6}.\)

г) \(\frac{3b^2 - 10b - 1}{b - 3}=\)

\(=\frac{3b^2 - 9b-b - 1}{b - 3}=\)

\(=\frac{3b(b - 3)-b - 1}{b - 3}=3b-\frac{b+1}{b - 3}.\)

Пояснения:

– Метод разложения на множители: представляем числитель как произведение делителя на частное плюс остаток.

– Остаток находится как разность исходного многочлена и полученного произведения.

– Итог: дробь равна сумме найденного целого выражения (частного) и дроби с остатком в числителе.