Упражнение 223 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть:

\(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} = t.\)

Тогда

\[a = tb,\quad b = tc,\quad c = ta.\]

\(a\cdot b\cdot c = (t b)\,(t c)\,(t a) = t^3\,(a b c)\) \(|: a b c\neq0\)

\(1 = t^3 \;\Rightarrow\; t = 1\)

Значит

\(\frac{a}{b} = 1,\;\frac{b}{c} = 1,\;\frac{c}{a} = 1\)

\(\;\Longrightarrow\;\;a = b = c,\) что и требовалось доказать.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1. Введение параметра \(t\) для обозначения общего значения дробей.

2. Представление каждого равенства в виде \(a = tb\), \(b = tc\), \(c = ta\).

3. Перемножение трёх равенств для получения уравнения \(t^3=1\).

4. Решение уравнения \(t^3=1\) в действительных числах даёт \(t=1\), что приводит к равенству \(a=b=c\).

а) \(\displaystyle \frac{n+6}{n} = 1 + \frac{6}{n}\)

\(n=1,2,3,6.\)

Ответ: \(n=1,2,3,6.\)

б) \(\displaystyle \frac{5n-12}{n} = 5 - \frac{12}{n}\)

\(n=3,4,6,12.\)

Ответ: \(n=3,4,6,12.\)

в) \(\displaystyle \frac{36-n^2}{n^2} = \frac{36}{n^2} - 1\)

\(\frac{36}{n^2}\ge2 \;\Longrightarrow\;n^2\le18,\;n=1,2,3.\)

Ответ: \(n=1,2,3.\)

Пояснения:

1) Для пункта (а) проверили делители числа 6: \(\{1,2,3,6\}\).

2) Для пункта (б) проверили делители числа 12 и условие \(5-\tfrac{12}{n}\ge1\), что даёт значения \(\tfrac{12}{n}\le4\), поэтому \(n\in\{3,4,6,12\}.\)

3) Для пункта (в) ввели переменную \(m=\tfrac{36}{n^2}\), потребовали \(m\in\mathbb{N}\) и \(m\ge2\), откуда \(n^2\in\{1,4,9\}\), т.е. \(n\in\{1,2,3\}.\)