Упражнение 118 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \bigl(\frac{2a}{p^2q^3}\bigr)^4 = \frac{(2a)^4}{(p^2q^3)^4} =\)

\(=\frac{2^4\,a^4}{p^{8}\,q^{12}} = \frac{16a^4}{p^8q^{12}}. \)

б) \( \bigl(\frac{3a^2b^3}{s^4}\bigr)^2 = \frac{(3a^2b^3)^2}{(s^4)^2} =\)

\(=\frac{3^2\,a^{4}\,b^{6}}{s^{8}} = \frac{9a^4b^6}{s^8}. \)

в) \( \bigl(-\frac{2a^2b}{3mn^3}\bigr)^2 = \frac{(2a^2b)^2}{(3mn^3)^2} =\)

\(=\frac{2^2\,a^{4}b^2}{3^2\,m^2\,n^{6}} = \frac{4a^4b^2}{9m^2n^6}. \)

г) \( \bigl(-\frac{3x^2}{2y^3}\bigr)^3 = -\frac{(3x^2)^3}{(2y^3)^3} =\)

\(=-\frac{3^3\,x^{6}}{2^3\,y^{9}} = -\frac{27x^6}{8y^9}. \)

Пояснения:

– Правило степени частного:

\(\bigl(\frac{A}{B}\bigr)^n = \frac{A^n}{B^n}.\)

– Правило степени произведения:

\((AB)^n = A^nB^n.\)

– Правило степени степени:

\((A^m)^n = A^{m\cdot n}.\)

– При возведении отрицательного числа в чётную степень знак становится «+», в нечётную — сохраняется «–».

\( \bigl(a - \frac{5}{a}\bigr)^2 = 2^2. \)

\( a^2 - 2\cdot \cancel{a}\cdot\frac{5}{\cancel{a}} + \bigl(\frac{5}{a}\bigr)^2 = 4. \)

\( a^2 - 10 + \frac{25}{a^2} = 4. \)

\( a^2 + \tfrac{25}{a^2} = 4 + 10 \)

\( a^2 + \frac{25}{a^2}= 14. \)

Пояснения:

• Мы использовали формулу квадрата разности:

\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. \)

• При раскрытии получилось выражение, содержащее \(a^2\), \(\frac{25}{a^2}\) и число \(-10\). Сокращение \(a\) в произведении \(a\cdot\frac{5}{a}\) дало число 5, умноженное на 2 — получился 10.

• Перенос свободного члена \(-10\) на другую сторону равенства даёт сумму \(4 + 10\), что и является значением выражения \(a^2 + \frac{25}{a^2}\).