Упражнение 47 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} \)

1. Если \(a=0\), то

\(\displaystyle \frac{0^2-4}{12+0-0} = \frac{-4}{12} = -\frac13 <0\);

Если \(a=1\), то

\(\displaystyle \frac{1-4}{12+1-1} = \frac{-3}{12} = -\frac14 <0\).

2. Чтобы понять знак для всех \(a\), нужно сократить дробь.

3. \( \frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4} =\)

\(=\frac{a^2 - 4}{12 + 4a^2 - 3a^2 - a^4} =\)

\(=\frac{a^2 - 4}{4(3 + a^2) - a^2(3 + a^2)} =\)

\(=\frac{a^2 - 4}{(4 - a^2)(3 + a^2)} =\)

\(=\frac{a^2 - 4}{-(a^2-4)(3 + a^2)} =\)

\(=\frac{\cancel{a^2 - 4}}{-\,\cancel{(a^2 - 4)}(a^2 + 3)} = -\,\frac{1}{a^2 + 3}. \)

\(a^2 + 3 > 0\) для любого \(a\), тогда

\(-\,\frac{1}{a^2 + 3} < 0\) для любого \(a\).

Вывод: для всех \(a\), отличных от \(2\) и \(-2\) дробь \(\displaystyle \frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}\) принимает отрицательное значение.

Пояснения:

— Числитель раскладывается по формуле разности квадратов:

\(a^2-4 = (a-2)(a+2)\).

— Знаменатель \(12 + a^2 - a^4\) с помощью группировки слагаемых и вынесением общего множителя за скобки приводится к разложению \(-\,(a^2-4)(a^2+3)\).

— Выполнив сокращение на одинаковый множитель, дробь сводится к виду \(-1/(a^2+3)\) и знаменатель положителен, значит, знак дроби — всегда отрицательный.

1) \( \frac{5b}{8a^3} = \frac{5b\cdot3b^2}{8a^3\cdot3b^2} = \frac{15b^3}{24a^3b^2}. \)

2) \( \frac{7a}{3b^2} = \frac{7a\cdot8a^3}{3b^2\cdot8a^3} = \frac{56a^4}{24a^3b^2}. \)

3) \( \frac{1}{2ab} = \frac{1\cdot12a^2b}{2ab\cdot12a^2b} = \frac{12a^2b}{24a^3b^2}. \)

4) \( \frac{2}{a^2b^2} = \frac{2\cdot24a}{a^2b^2\cdot24a} = \frac{48a}{24a^3b^2}. \)

Пояснения:

При приведении дробей к новому знаменателю, учитываем то, что если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной. 

Также учитывая свойство степени:

\(a^ma^n = a^{m+n}\).