Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№46 учебника 2023-2025 (стр. 17):
Сократите дробь:
а) \(\displaystyle \frac{(2a - 2b)^2}{a - b}\);
б) \(\displaystyle \frac{(3c + 9d)^2}{c + 3d}\);
в) \(\displaystyle \frac{(3x + 6y)^2}{5x + 10y}\);
г) \(\displaystyle \frac{4x^2 - y^2}{(10x + 5y)^2}\).
№46 учебника 2013-2022 (стр. 16):
Докажите, что значение дроби не зависит от \(n\), где \(n\) — натуральное число:
а) \(\displaystyle \frac{3^{n+2}-3^n}{3^{n+2}+3^{n+1}+3^n}\);
б) \(\displaystyle \frac{16^{n+1}-2^{n+4}}{4\cdot2^n\,(2^{3n}-1)}\).
№46 учебника 2023-2025 (стр. 17):
Вспомните:
№46 учебника 2013-2022 (стр. 16):
Вспомните:
№46 учебника 2023-2025 (стр. 17):
а) \(\frac{(2a - 2b)^2}{a - b}=\frac{\bigl(2(a - b)\bigr)^2}{a - b}=\)
\(=\frac{4(a - b)^{\cancel{2}}}{\cancel{a - b}} = 4(a - b). \)
б) \(\frac{(3c + 9d)^2}{c + 3d}=\frac{\bigl(3(c + 3d)\bigr)^2}{c + 3d}=\)
\(=\frac{9(c + 3d)^{\cancel{2}}}{\cancel{c + 3d}} = 9(c + 3d). \)
в) \( \frac{(3x + 6y)^2}{5x + 10y}=\frac{\bigl(3(x + 2y)\bigr)^2}{5x + 10y}=\)
\(=\frac{9(x + 2y)^{\cancel{2}}}{5\cancel{(x + 2y)}} =\frac{9(x + 2y)}{5} \)
г) \(\frac{4x^2 - y^2}{(10x + 5y)^2}=\)
\(=\frac{(2x - y)(2x + y)}{\bigl(5(2x + y)\bigr)^2}=\)
\(= \frac{(2x - y)\cancel{(2x + y)}}{25(2x + y)^{\cancel{2}}} = \frac{2x - y}{25(2x + y)}. \)
Пояснения:
1. Для сокращения дробей раскладываем числитель и знаменатель на множители, для этого выносим общий множитель за скобки, если общий множитель выносим в выражении, стоящим под степенью, то учитываем свойство степени:
\((ab)^n = a^nb^n\).
2. В пунктах а)–в) вынесли множитель вида \((a-b)\), \((c+3d)\) или \((x+2y)\) и сократили одну из степеней.
3. В пункте г) при разложении на множители в числителе применили формулу разности квадратов:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
№46 учебника 2013-2022 (стр. 16):
а) \( \frac{3^{n+2}-3^n}{3^{n+2}+3^{n+1}+3^n}=\)
\(= \frac{3^n\bigl(3^2-1\bigr)}{3^n\bigl(3^2+3+1\bigr)}=\)
\(= \frac{\cancel{3^n}\cdot8}{\cancel{3^n}\cdot13} = \frac{8}{13}\) - не зависит от \(n\).
б) \(\displaystyle \frac{16^{n+1}-2^{n+4}}{4\cdot2^n\,(2^{3n}-1)}=\)
\(=\displaystyle \frac{(2^4)^{n+1}-2^{n+4}}{2^2\cdot2^n\,(2^{3n}-1)}=\)
\(=\displaystyle \frac{2^{4n+4} - 2^{n+4}}{2^{n+2}\,(2^{3n}-1)}=\)
\(=\displaystyle \frac{2^{n+4}\cancel{\bigl(2^{3n} - 1\bigr)}}{2^{n+2}\,\cancel{(2^{3n}-1)}}=\)
\(=\displaystyle \frac{2^{n+4}}{2^{n+2}}=2^{(n+4)-(n+2)}=\)
\(=2^{\cancel{n}+4-\cancel{n}-2}=2^2=4\) - не зависиn от \(n\).
Пояснения:
— В обоих случаях мы вынесли из числителя и знаменателя общий множитель, после чего дробь упростилась и получилось число без переменной.
— В пункте а) общий множитель — \(3^n\), а в скобках осталось \(8\) и \(13\).
— В пункте б) из числителя и знаменателя вынесли \(2^{n+2}(2^{3n}-1)\), что дало в результате степень \(2^2\).
— Полученные значения \(\tfrac{8}{13}\) и \(4\) не зависят от натурального \(n\).
При выполнении преобразований использовали свойства степени:
\(a^ma^n = a^{m+n}\);
\((a^m)^n = a^{mn}\);
\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
Вернуться к содержанию учебника