Упражнение 33 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 14

а) \( \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3} =\)

\(=\frac{\cancel{a^2 - ab + b^2}}{(a + b)\cancel{(a^2 - ab + b^2)}} =\)

\(=\frac{1}{a + b}. \)

б) \( \frac{a^3 - b^3}{a - b} = \frac{\cancel{(a - b)}(a^2 + ab + b^2)}{\cancel{a - b}} =\)

\(=a^2 + ab + b^2.\)

в) \( \frac{(a + b)^3}{a^3 + b^3} = \frac{(a + b)^{\cancel{3}^2}}{\cancel{(a + b)}(a^2 - ab + b^2)} =\)

\(=\frac{(a + b)^2}{a^2 - ab + b^2}. \)

г) \( \frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2} = \frac{ \cancel{(a - b)}(a^2 + ab + b^2)}{ \cancel{(a - b)}(a + b)} =\)

\(=\frac{a^2 + ab + b^2}{a + b}.\)

Пояснения:

1. Формула разности кубов:

\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

2. Формула суммы кубов:

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). \)

3. Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

3. При сокращении дробей выделяем общий множитель (например,

\(a^2 - ab + b^2\), \(a - b\), \(a + b\)) в числителе и знаменателе и сокращаем него.

а) \(\displaystyle \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 2x}=\frac{(x - 2)^{\cancel{2}}}{x\cancel{(x - 2)}} =\)

\(=\frac{x - 2}{x}. \)

б) \(\displaystyle \frac{3y^2 + 24y}{y^2 + 16y + 64}=\frac{3y\cancel{(y + 8)}}{(y + 8)^{\cancel{2}}} =\)

\(=\frac{3y}{y + 8}. \)

в) \(\displaystyle \frac{a^2 + a + 1}{a^3 - 1}=\)

\(= \frac{\cancel{a^2 + a + 1}}{(a - 1)\cancel{(a^2 + a + 1)}} = \frac{1}{a - 1}. \)

г) \(\displaystyle \frac{b + 2}{b^3 + 8}=\)

\( \frac{\cancel{b + 2}}{\cancel{(b + 2)}(b^2 - 2b + 4)} =\)

\(=\frac{1}{b^2 - 2b + 4}. \)

Пояснения:

1. Для сокращения дробей раскладываем числитель и знаменатель на множители:

— квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\),

— квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

— разность кубов двух выражений:

\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\),

— сумма кубов двух выражений:

\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\).

2. После разложения находим общий множитель и сокращаем его.