Упражнение 1096 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^5 + 4a^2x^3 - 4ax^4=\)

\(= x^3\bigl(x^2 + 4a^2 - 4ax\bigr) =\)

\(=x^3\bigl(x^2 - 4ax + 4a^2\bigr) =\)

\(=x^3(x - 2a)^2. \)

б) \( 4a^6 - 12a^5b + 9a^4b^2 =\)

\(=a^4\bigl(4a^2 - 12ab + 9b^2\bigr) =\)

\(=a^4(2a - 3b)^2. \)

Пояснения:

Использованные приёмы:

1. Вынесение общего множителя: если все члены содержат одинаковый множитель, его можно вынести за скобки:

\(ax+bx=x(a+b)\).

2. Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

3.Свойство степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\).

а) Все слагаемые содержат \(x^3\); после его вынесения остаётся

\(x^2 - 4ax + 4a^2\), что является полным квадратом \((x - 2a)^2\).

б) Во всех членах есть \(a^4\); после вынесения получается трёхчлен

\(4a^2 -12ab +9b^2\), который является полным квадратом \((2a -3b)^2\).

а) \( \begin{cases} 2x - y = 1,\\ -6x + 3y = 2; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 2x - 1,\\ 3y = 6x + 2;      / : 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 2x - 1,\\ y = 2x + \frac23; \end{cases} \)

Угловые коэффициенты одинаковые, а точки пересечения с осью \(y\) различны, значит, прямые параллельны.

Ответ: система не имеет решений, так как прямые параллельны.

б) \( \begin{cases} -5x + 2y = 7,\\ 15x - 6y = -21; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2y = 5x + 7,    / : 2 \\ 6y = 15x + 21;     / : 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{5}{2}x + \frac{7}{2}, \\ y = \frac{15}{6}x + \frac{21}{6};     / : 6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 2,5x + 3,5, \\ y = 2,5x + 3,5 \end{cases} \)

Ответ: система имеет бесконечно много решений, так как уравнения совпадают.

Пояснения:

Использованные приёмы:

1. Решением системы уравнений являются координаты точек пересечения графиков.
2. В каждом уравнении выражаем переменную \(y\) через переменную \(x\), используя свойства уравнений.
3. Коэффициенты, полученные в новых уравнениях, отвечают за расположение прямых. При одинаковых коэффициентах при переменной \(x\) и разных свободных коэффициентах прямые будут параллельны, то есть прямые общих точек не имеют, значит система в таком случае не имеет решения. При одинаковых коэффициентах при переменной \(x\) и разных свободных коэффициентах прямые будут совпадать, значит, система в таком случае будет иметь бесконечно много решений.