Упражнение 1042 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( x + y =6;\)

\(1\dfrac{5}{7} + 4\dfrac{2}{7} =6;\)

\(5\dfrac{7}{7} =6;\)

\(6=6\) - верно, значит, пара чисел является решением.

Другие решения:

1) \(x = 2\), \(y = 4\)

\( x + y = 2 + 4 = 6 \)

2) \(x = 0\), \(y = 6\)

\( x + y = 0 + 6 = 6 \)

Пояснения:

Правило:

Чтобы пара чисел была решением уравнения с двумя переменными, необходимо, чтобы при подстановке этих значений переменных уравнение обращалось в верное числовое равенство.

Проверка первой пары:

\( x + y = 1\dfrac{5}{7}+ 4\dfrac{2}{7} =5\dfrac{7}{7} = 6 \)

\(6=6\) -  верно, значит, пара чисел действительно является решением.

Поиск других решений:

Уравнение \(x + y = 6\) задаёт зависимость между переменными: любое значение одной переменной определяет вторую.

Пример 1: если \(x = 2\), то \(y = 6 - 2 = 4\)

Пример 2: если \(x = 0\), то \(y = 6 - 0 = 6\)

Таким образом, множество решений бесконечно, но можно указать любые конкретные пары значений, удовлетворяющих уравнению.

Пусть  \(x\) - неполное частное при делении числа на 5,

\(y\) - неполное частное при делении  числа на 6.

Тогда  \(5x + 1\) и \(6y + 2\) - искомое число.

Составим уравнение:

\(5x + 1 = 6y + 2;\)

Откуда:

\( 6y = 5x + 1 - 2;\)

\(6y = 5x - 1;\)

\(y = \frac{5x - 1}{6}. \)

Переберём целые \(x\ge0\):

Если \(x=0\), то \( y=\frac{5\cdot0-1}{6}=-\frac{1}{6}\) — нецелое;

Если \(x=1\), то \(y=\frac{5\cdot1-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\) — нецелое;

Если \(x=2\), то \(y=\frac{5\cdot2-1}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\) — нецелое;

Если \(x=3\), то \(y=\frac{5\cdot3-1}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}\) — нецелое;

Если \(x=4\), то \(y=\frac{5\cdot4-1}{6}=\frac{19}{6}\) — нецелое;

Если \(x=5\), то \(y=\frac{5\cdot5-1}{6}=\frac{24}{6}=4\) — целое.

Значит, наименьшее решение даётся при \(x=5\), \(y=4\), и число равно

\(5x+1 = 5\cdot5 + 1 = 26.\)

Ответ: искомое число равно 26.

Пояснения:

– Мы ввели параметры \(x\) и \(y\), где \(x\) определяет неполное частное при делении на 5, а \(y\) — при делении на 6.

– Представление числа в виде \(5x+1\) следует из условия «остаток 1 при делении на 5».

– Условие «остаток 2 при делении на 6» даёт уравнение \(5x+1=6y+2\).

– Решая это уравнение, перенесли свободные члены и разделили на 6, чтобы выразить \(y\) через \(x\).

– Подстановка \(x=0,1,2,\dots\) помогает найти первое целое значение \(y\).

– При каждом шаге вычисляли дробное значение и проверяли целостность.

– Как только нашли \(y=4\) при \(x=5\), остановились, так как дальше получатся более крупные числа.

– Окончательный ответ: наименьшее натуральное число — 26.