Упражнение 1026 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 2x^8 - 12x^4 + 18 =\)

\(=2\bigl(x^8 - 6x^4 + 9\bigr) =\)

\(=2\bigl((x^4)^2 - 2\cdot3\,x^4 + 3^2\bigr) = \)

\(=2\,(x^4 - 3)^2. \)

б) \( -2a^6 - 8a^3b - 8b^2 =\)

\(=-2\bigl(a^6 + 4a^3b + 4b^2\bigr) =\)

\(=-2\bigl((a^3)^2 + 2\cdot2\,a^3b + (2b)^2\bigr) =\)

\(=-2\,(a^3 + 2b)^2. \)

в) \( a^4b + 6a^2b^3 + 9b^5 =\)

\(=b\bigl(a^4 + 6a^2b^2 + 9b^4\bigr) =\)

\(=b\bigl((a^2)^2 + 2\cdot3\,a^2b^2 + (3b^2)^2\bigr) =\)

\(=b\,(a^2 + 3b^2)^2. \)

г) \( 4x + 4xy^6 + xy^{12} =\)

\(=x\bigl(4 + 4y^6 + y^{12}\bigr) =\)

\(=x\bigl(2^2 + 2\cdot2\,y^6 + (y^6)^2\bigr) = \)

\(=x\,(2+y^6)^2. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Вынесение общего множителя:

\(ax + ay = a(x+y)\).

2) Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

2) Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

3) Свойства степени:

\(a^nb^n = (ab)^n;\)

\((a^m)^n = a^{mn}\).

Каждое выражение сводится к квадрату двучлена, умноженному на общий множитель.

\( x + y =6;\)

\(1\dfrac{5}{7} + 4\dfrac{2}{7} =6;\)

\(5\dfrac{7}{7} =6;\)

\(6=6\) - верно, значит, пара чисел является решением.

Другие решения:

1) \(x = 2\), \(y = 4\)

\( x + y = 2 + 4 = 6 \)

2) \(x = 0\), \(y = 6\)

\( x + y = 0 + 6 = 6 \)

Пояснения:

Правило:

Чтобы пара чисел была решением уравнения с двумя переменными, необходимо, чтобы при подстановке этих значений переменных уравнение обращалось в верное числовое равенство.

Проверка первой пары:

\( x + y = 1\dfrac{5}{7}+ 4\dfrac{2}{7} =5\dfrac{7}{7} = 6 \)

\(6=6\) -  верно, значит, пара чисел действительно является решением.

Поиск других решений:

Уравнение \(x + y = 6\) задаёт зависимость между переменными: любое значение одной переменной определяет вторую.

Пример 1: если \(x = 2\), то \(y = 6 - 2 = 4\)

Пример 2: если \(x = 0\), то \(y = 6 - 0 = 6\)

Таким образом, множество решений бесконечно, но можно указать любые конкретные пары значений, удовлетворяющих уравнению.