Упражнение 1000 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( (n + 1)^2 - (n - 1)^2 =\)

\(=\bigl((n + 1) - (n - 1)\bigr)\,\bigl((n + 1) + (n - 1)\bigr)= \)

\(=\bigl(n + 1 - n + 1\bigr)\,\bigl(n + 1 + n - 1\bigr)= \)

\(=2\cdot2n= 4n\) - делится на 4.

б) \( (2n + 3)^2 - (2n - 1)^2 =\)

\(=\bigl((2n + 3) - (2n - 1)\bigr)\,\bigl((2n + 3) + (2n - 1)\bigr)= \)

\(=\bigl(2n + 3 - 2n + 1\bigr)\,\bigl(2n + 3 + 2n - 1\bigr)= \)

\(=4\cdot(4n + 2)=4\cdot2(2n+1) =\)

\(=8\cdot(2n+1)\) - делится на 8.

в) \( (3n + 1)^2 - (3n - 1)^2 =\)

\(=\bigl((3n + 1) - (3n - 1)\bigr)\,\bigl((3n + 1) + (3n - 1)\bigr)= \)

\(=\bigl(3n + 1 - 3n + 1\bigr)\,\bigl(3n + 1 + 3n - 1\bigr)= \)

\(=2\cdot6n=12n\) - делится на 12.

г) \( (5n + 1)^2 - (2n - 1)^2 =\)

\(=\bigl((5n + 1) - (2n - 1)\bigr)\,\bigl((5n + 1) + (2n - 1)\bigr)= \)

\(=\bigl(5n + 1 - 2n + 1\bigr)\,\bigl(5n + 1 + 2n - 1\bigr)= \)

\(=(3n+2)\cdot7n =  7n(3n+2)\) - делится на 7.

Пояснения:

Основные правила и приёмы:

1. Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

2. Понятие делимости: если в произведении один из множителей делится на какое-либо число, то и все произведение делится на это число

3. Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии меняем знаки всех слагаемых из скобок на противоположные.

4. Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

\( \bigl(a(a+2b)+b^2\bigr)\,\bigl(a(a-2b)+b^2\bigr)\,\bigl((a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2\bigr)= \)

\( =\bigl(a^2 + 2ab + b^2\bigr)\,\bigl(a^2 - 2ab + b^2\bigr)\,\bigl((a^2)^2 - 2a^2b^2 + (b^2)^2 + 4a^2b^2\bigr)= \)

\(= (a+b)^2(a-b)^2((a^2)^2 + 2a^2b^2 + (b^2)^2) =\)

\(= ((a+b)(a-b))^2(a^2 + b^2)^2= \)

\(= (a^2 - b^2)^2(a^2 + b^2)^2 =\)

\(= \bigl((a^2 - b^2)(a^2 + b^2)\bigr)^2 =\)

\(=\bigl((a^2)^2 - (b^2)^2\bigr)^2=(a^4 - b^4)^2= \)

\(= (a^4)^2 - 2a^4b^4 + (b^4)^2 \)

\(= a^8 - 2a^4b^4 + b^8. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Формула квадрата разности:

\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\).

2) Формула квадрата суммы:

\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\).

3) Формула разности квадратов:

\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2.\)

4) Свойства степени:

\((ab)^n=a^nb^n;\)

\((a^m)^n = a^{mn}.\)

5) Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).