Упражнение 977 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( (a^2 + 3b^3)^3 =a^6 + 3\,(a^2)^2 \cdot (3b^3) +3\,(a^2)\,\bigl(3b^3\bigr)^2 + (3b^3)^3=\)

\(=a^6 + 3\,a^4 \cdot 3b^3 + 3\,a^2 \cdot 9b^6 + 27\,b^9=\)

\(=a^6 + 9\,a^4b^3 + 27\,a^2b^6 + 27\,b^9= \)

\(=a^6 + 9\,a^4b^3 + 27\,a^2b^6 + 27\,b^9. \)

б) \( (1 - 2xy)^4 = 1^4 - 4 \cdot 1^3 \cdot 2xy + 6 \cdot 1^2 \cdot \bigl(2xy\bigr)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \bigl(2xy\bigr)^3 + \bigl(2xy\bigr)^4 =\)

\(= 1 - 8xy + 6 \cdot 4x^2y^2 - 4 \cdot 8x^3y^3 + 16\,x^4y^4=\)

\(= 1 - 8\,xy + 24\,x^2y^2 - 32\,x^3y^3 + 16\,x^4y^4\)

Пояснения:

а) Формула куба двучлена:

\( (u + v)^3 = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3. \)

В пункте (а) положили

\(u = a^2\), \(v = 3b^3\),

последовательно вычислили

\(u^3\), \(3u^2v\), \(3uv^2\) и \(v^3\).

б) При записи формулы двучлена

\(a + b\) в степени \(n\), первый член получаемого многочлена равен \(a^n\) и \(b^0\). Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени \(a\) уменьшается на 1, а показатель степени \(b\) увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна \(n\).

Для определения коэффициентов получаемого многочлена, используют треугольник Паскаля. В треугольнике Паскаля "боковые стороны" состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним.

Строки треугольника Паскаля определяют коэффициенты многочлена в формуле для данной степени \(n\).

Значит, коэффициенты двучлена четвертой степени равны:

1; 4; 6; 4; 1.

Тогда формула четвёртой степени двучлена:

\( (u + v)^4 = u^4 + 4u^3v + 6u^2v^2 + 4uv^3 + v^4. \)

В пункте (б) положили

\(u = 1\), \(v = -2xy\).

При этом нужно учитывать знак при возведении \((-2xy)\) в степень:

\((-2xy)^2 = 4x^2y^2\),

\((-2xy)^3 = -8x^3y^3\),

\((-2xy)^4 = 16x^4y^4\).

При выполнении преобразований учитывали свойства степени:

\((ab)^n=a^nb^n;\)

\((a^m)^n=a^{mn}\).

а) \( (x + y + 1)(x + y - 1) =\)

\( =((x + y) + 1)((x + y) - 1) =\)

\(=(x + y)^2 - 1^2 =\)

\(=x^2 + 2xy + y^2 - 1. \)

б) \( (m + n - 3)(m + n + 3) =\)

\( =((m + n) - 3)((m + n) + 3) =\)

\(=(m + n)^2 - 3^2 =\)

\(=m^2 + 2mn + n^2 - 9. \)

в) \( (a - b - 5)(a - b + 5) = \)

\( =((a - b) - 5)((a - b) + 5) = \)

\(= (a - b)^2 - 5^2 =\)

\(=a^2 - 2ab + b^2 - 25. \)

г) \( (c - d + 8)(c - d - 8) =\)

\(= ((c - d) + 8)((c - d) - 8) =\)

\(= (c - d)^2 - 8^2 =\)

\(=c^2 - 2cd + d^2 - 64. \)

д) \( (p + 2q - 3)(p - 2q - 3) =\)

\(=\bigl((p - 3) + 2q\bigr)\bigl((p - 3) - 2q\bigr) =\)

\(= (p - 3)^2 - (2q)^2 =\)

\(= p^2 - 6p - 4q^2 + 9. \)

е) \( (a - 3x + 6)(a + 3x + 6) =\)

\(=\bigl((a + 6) - 3x\bigr)\bigl((a + 6) + 3x\bigr) =\)

\(= (a + 6)^2 - (3x)^2 =\)

\(= a^2 + 12a + 36 - 9x^2. \)

Пояснения:

Формулы и приёмы, использованные при преобразованиях:

1. Формула квадрата суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

2. Формула квадрата разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

3. Формула произведения суммы и разности двух выражений:

\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2.\)