Упражнение 872 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 175

1) Площадь большого квадрата со стороной \(a\): \(\,a^2\).

2) Площадь малого квадрата со стороной \(b\): \(\,b^2\).

3) Разность площадей двух квадратов: \(\,a^2 - b^2\) есть площадь оставшейся фигуры на рисунке 87.

4) Эта оставшаяся фигура представляет собой прямоугольник со сторонами \((a - b)\) и \((a + b)\), его площадь равна \((a - b)(a + b)\).

Пояснения:

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины

Пусть \(x\) - произвольное целое число. Тогда предыдущее целое число \(x-1\), а последующее \(x+1\).

Составим уравнение:

\(x^2-(x-1)(x+1)=1\).

\(x^2-(x^2-1)=1\).

\(x^2-x^2+1=1\).

\(1 = 1\) - верно.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Использованные правила:

1) \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

2) Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии нужно поменять все знаки в скобках на противоположные:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

3) Сумма противоположных членов равна нулю.

Ввели обозначения и согласно условию составили уравнение. Сначала в полученном уравнении применили формулу произведения разности двух выражений и их суммы, затем раскрыли скобки, сменив все знаки в скобках, сократили противоположные члены, и получили верное числовое равенство, а это говорит о том, что квадрат любого целого числа на единицу больше произведения предыдущего и последующего целых чисел.