Упражнение 869 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((3 + a)^3 =\)

\(=3^3 + 3\cdot3^2\cdot{a} + 3\cdot3 \cdot{a^2} + a^3 =\)

\(=27 + 27a + 9a^2 + a^3\)

б) \((x - 2)^3 =\)

\(=x^3 - 3\cdot x^2\cdot2 + 3\cdot x\cdot2^2 - 2^3 =\)

\(=x^3 - 6x^2 + 12x - 8\)

Пояснения:

Использованные формулы:

Куб суммы:

\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. \)

Куб разности:

\( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3. \)

а) \((b - 2)(b + 2)(b^2+4)=\)

\(=(b^2-4)(b^2+4)=\)

\(=(b^2)^2-4^2=b^4-16\).

б) \((3 - y)(3 + y)(9+y^2)=\)

\(=(9-y^2)(9+y^2)=\)

\(=9^2-(y^2)^2=81-y^4\).

в) \((a^2+1)(a+1)(a-1)=\) 

\(=(a^2+1)(a^2-1)=\)

\(=(a^2)^2-1^2=a^4-1\).

г) \((c^4+1)(c^2+1)(c^2-1)=\)

\(=(c^4+1)(c^4-1)=\)

\(=(c^4)^2 - 1^2=c^8-1\).

д) \((x-3)^2(x+3)^2=\)

\(=((x-3)(x+3))^2=(x^2-9)^2=\)

\(=(x^2)^2-2\cdot{x^2}\cdot9+9^2=\)

\(=x^4-18x^2+81\).

е) \((y+4)^2(y-4)^2=\)

\(=((y+4)(y-4))^2=(y^2-16)^2=\)

\(=y^4-2\cdot{y^2}\cdot16+16^2=\)

\(=y^4-32y^2+256\).

ж) \((a-5)^2(5+a)^2=\)

\(=((a-5)(a+5))^2=(a^2-25)^2=\)

\(=(a^2)^2-2\cdot{a^2}\cdot25+25^2=\)

\(=a^4-50a^2+625\).

з) \((c+4)^2(4-c)^2=\)

\(=((4+c)(4-c))^2=(16-c^2)^2=\)

\(=16^2-2\cdot16\cdot{c^2}+(c^2)^2=\)

\(=256-32c^2+c^4\).

Пояснения:

Использованные формулы:

1) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

 При раскрытии формул, использовали свойства степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n;\)

\((a^m)^n=a^{m\cdot{n}}.\)

В пунктах а) - г) дважды применили формулу произведения разности двух выражений и их суммы.

В пунктах д) - з) сначала применили свойство возведения произведения в степень (степень вынесли за скобку), затем применили формулу произведения разности двух выражений и их суммы, далее применили формулу квадрата разности двух выражений.