Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№854 учебника 2023-2025 (стр. 172):
Замените знак * таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена:
а) \(b^2 + 20b + *\);
б) \(* + 14b + 49\);
в) \(16x^2 + 24xy + *\);
г) \(* - 42pq + 49q^2\).
№854 учебника 2013-2022 (стр. 173):
Выполните умножение многочленов:
а) \((x - y)(x + y)\);
б) \((p + q)(p - q)\);
в) \((p - 5)(p + 5)\);
г) \((x + 3)(x - 3)\);
д) \((2x - 1)(2x + 1)\);
е) \((7 + 3y)(3y - 7)\);
ж) \((n - 3m)(3m + n)\);
з) \((2a - 3b)(3b + 2a)\);
и) \((8c + 9d)(9d - 8c)\).
№854 учебника 2023-2025 (стр. 172):
Вспомните:
№854 учебника 2013-2022 (стр. 173):
Вспомните:
№854 учебника 2023-2025 (стр. 172):
а) \(b^2 + 20b + *=\)
\(=b^2 + 2\cdot{b}\cdot10 + *=\)
\(=b^2 + 2\cdot{b}\cdot10 + 10^2=\)
\(=(b + 10)^2.\)
\(* = 10^2 = 100\).
Ответ: \(* = 100\).
б) \(* + 14b + 49=\)
\(=* + 2\cdot{b}\cdot7 + 7^2=\)
\(=b^2 + 2\cdot{b}\cdot7 + 7^2=\)
\(=(b + 7)^2. \)
\(* = b^2\).
Ответ: \(* = b^2\).
в) \(16x^2 + 24xy + *=\)
\(=(4x)^2 + 2\cdot{4x}\cdot{3y} + *=\)
\(=(4x)^2 + 2\cdot{4x}\cdot{3y} + (3y)^2=\)
\(=(4x + 3y)^2.\)
\(* =(3y)^2 = 9y^2\).
Ответ: \(* = 9y^2\).
г) \(* - 42pq + 49q^2=\)
\(=* - 2\cdot{3p}\cdot{7q} + 49q^2=\)
\(=(3p)^2 - 2\cdot{3p}\cdot{7q} + 49q^2=\)
\(=(3p - 7q)^2\)
\(* = (3p)^2= 9p^2\).
Ответ: \(* = 9p^2\).
Пояснения:
Использованные формулы:
Квадрат суммы:
\[ (u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2. \]
Квадрат разности:
\[ (u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2. \]
При этом учитывали свойство степени:
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)
Пояснение к пункту а):
Среднее слагаемое \(20b\) должно быть равно \(2\cdot b\cdot 10\), значит, второй множитель \(v=10\). Тогда \(v^2=100\) и трёхчлен есть \((b+10)^2\).
Пояснение к пункту б):
Последнее слагаемое \(49\) есть квадрат \(7\), значит \(v=7\). Тогда первый одночлен \(u^2 = b^2\), и трёхчлен равен квадрату двучлена \((b+7)^2\).
Пояснение к пункту в):
Первое слагаемое \(16x^2\) — это \((4x)^2\), последнее \(9y^2\) — это \((3y)^2\). Среднее \(24xy = 2\cdot4x\cdot3y\), значит, двучлен \((4x+3y)\).
Пояснение к пункту г):
Последнее слагаемое \(49q^2\) — это \((7q)^2\). Среднее \(-42pq = -2\cdot3p\cdot7q\), значит, первый множитель \(3p\). Тогда квадрат разности \((3p-7q)^2\).
№854 учебника 2013-2022 (стр. 173):
а) \((x - y)(x + y) = x^2 - y^2\)
б) \((p + q)(p - q) = p^2 - q^2\)
в) \((p - 5)(p + 5) = p^2 - 5^2=\)
\(=p^2 - 25\)
г) \((x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2=\)
\(=x^2 - 9\)
д) \((2x - 1)(2x + 1) = (2x)^2 - 1=\)
\(=4x^2 - 1\)
е) \((7 + 3y)(3y - 7) = (3y)^2 - 7^2=\)
\(=9y^2 - 49\)
ж) \((n - 3m)(3m + n) =\)
\(=n^2 - (3m)^2=\)
\(=n^2 - 9m^2\)
з) \((2a - 3b)(3b + 2a) =\)
\(=(2a)^2 - (3b)^2=\)
\(=4a^2 - 9b^2\)
и) \((8c + 9d)(9d - 8c) = \)
\(=(9d)^2 - (8c)^2=\)
\(=81d^2 - 64c^2\)
Пояснения:
Использованная формула:
\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
Также помним свойство степени:
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)
Вернуться к содержанию учебника