Задание 8. Вопросы для повторения к главе V - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник. Страница 113
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопросы для повторения к главе V. Страница 113
Вопрос
№8 учебника 2023-2024 (стр. 113):
Сформулируйте и докажите свойства диаметра окружности.
Подсказка
№8 учебника 2023-2024 (стр. 113):
Вспомните, что называют окружностью, ее диаметр.
Ответ
№8 учебника 2023-2024 (стр. 113):
Свойства диаметра:
10. Диаметр, проведённый через середину хорды, перпендикулярен этой хорде.
Обратно: диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Доказательство:
1) Пусть диаметр АВ окружности с центром О радиуса r проходит через середину М хорды CD.
Докажем, что диаметр АВ 
CD.
CD.
COD равнобедренный (т.к. две его стороны - радиусы окружности), и отрезок ОМ является его медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой треугольника. Значит, ОМ CD, поэтому АВ CD. 2) Пусть теперь диаметр АВ данной окружности перпендикулярен хорде CD, и докажем, что он делит хорду пополам.
Рассмотрим диаметр EF, проходящий через середину М хорды CD.
По доказанному выше, EF CD. Но тогда через центр О окружности проходят две прямые AB и EF, перпендикулярные CD, значит, они совпадают. Поэтому EF и AB — один и тот же диаметр.
CD. Но тогда через центр О окружности проходят две прямые AB и EF, перпендикулярные CD, значит, они совпадают. Поэтому EF и AB — один и тот же диаметр.20. Каждая точка, из которой диаметр окружности виден под прямым углом, лежит на этой окружности.
Обратно: из каждой точки окружности любой диа метр, не проходящий через данную точку, виден под прямым углом.
Доказательство:
1) Пусть АВ — диаметр окружности с центром О. Тогда если для точки С угол АСВ прямой, то в прямоугольном АСВ медиана СО равна половине гипотенузы, к которой она проведена. Тогда ОА = ОВ = ОС, т.е. С лежит на окружности с центром О радиуса ОА.
АСВ медиана СО равна половине гипотенузы, к которой она проведена. Тогда ОА = ОВ = ОС, т.е. С лежит на окружности с центром О радиуса ОА.2) Пусть точка C лежит на окружности с диаметром AB, O — центр этой окружности. Тогда точка O — середина отрезка AB. В ACB медиана CO равна половине стороны, к которой она проведена, поэтому угол АСВ прямой.
ACB медиана CO равна половине стороны, к которой она проведена, поэтому угол АСВ прямой.Вернуться к содержанию учебника