Упражнение 580 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(a_n\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=5\),  \(d=10\),  \(n=5\)

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_5=5+(5-1)\cdot10=\)

\(=5+40=45\).

\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\)

\(S_5=\dfrac{(a_1+a_5)\cdot5}{2}=\)

\(=\dfrac{(5+45)\cdot5}{2} =\dfrac{ ^{\color{blue}{25}} \cancel{50}\cdot5}{\cancel2}=\)

\(=25\cdot5 = 125\).

Ответ: глубина шахты равна \(125\) м.

Пояснения:

Так как за равные промежутки времени тело проходит расстояния, увеличивающиеся на одно и то же число (10 м), эти расстояния образуют арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии равен 5 м — это путь, пройденный в первую секунду. Разность равна 10 м.

Глубина шахты равна сумме путей, пройденных за все 5 секунд. Для этого используется формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}.\]

Подстановка значений даёт глубину шахты, равную 125 м.

а) \(-8;\ -6{,}5;\ \ldots\)

\(a_1=-8\), \(a_2=-6{,}5\)

\(d=a_2-a_1=-6{,}5-(-8)=\)

\(=-6,5+8=1{,}5\).

\(a_{23}=a_1 + 22d=-8 + 22\cdot1{,}5=\)

\(=-8 + 33=25\).

\(a_n=a_1+(n-1)d=\)

\(=-8+(n-1)\cdot1{,}5=\)

\(=8 + 1,5n - 1,5=1{,}5n-9{,}5\).

б) \(11;\ 7;\ \ldots\)

\(a_1=11\), \(a_2=7\)

\(d=7-11=-4\)

\(a_{23}=a_1 + 22d =11 + 22\cdot(-4)=\)

\(=11 - 88=-77\).

\(a_n=11+(n-1)(-4)=\)

\(=11 - 4n + 4=15-4n\).

Пояснения:

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число \(d\), называемое разностью.

Если известны два первых члена, разность находится как разность второго и первого члена:

\[d=a_2-a_1.\]

После этого используется формула \(n\)-го члена:

\[a_n=a_1+(n-1)d.\]

Подставляя значение \(n=23\), можно найти двадцать третий член прогрессии, а оставляя \(n\) произвольным — получить общий вид \(n\)-го члена.