Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№563 учебника 2023-2026 (стр. 159):
Является ли арифметической прогрессией последовательность \((a_n)\), заданная формулой:
а) \(a_n=3n+1\);
б) \(a_n=n^2-5\);
в) \(a_n=n+4\);
г) \(a_n=\dfrac{1}{n+4}\);
д) \(a_n=-0{,}5n+1\);
е) \(a_n=6n^2\).
№563 учебника 2014-2022 (стр. 146):
Какой член последовательности \(a_1, a_2, a_3, \ldots\):
а) следует за членом \(a_{99},\ a_{200},\ a_n,\ a_{n-1},\ a_{n+1},\ a_{2n}\);
б) предшествует члену \(a_{71},\ a_{100},\ a_{n-2},\ a_{n+3},\ a_{3n}\)?
№563 учебника 2023-2026 (стр. 159):
Вспомните:
№563 учебника 2014-2022 (стр. 146):
Вспомните, что называют последовательностью чисел.
№563 учебника 2023-2026 (стр. 159):
а) \(a_n=3n+1\)
\(a_{n+1}-a_n=\)
\(=(3(n+1)+1)-(3n+1)=\)
\(=\cancel{3n}+3+\cancel1-\cancel{3n}-\cancel1=3\)
\(a_n\) - является арифметической прогрессией.
б) \(a_n=n^2-5\)
\(a_{n+1}-a_n=\)
\(=((n+1)^2-5)-(n^2-5)=\)
\(=\cancel{n^2}+2n+1-\cancel5-\cancel{n^2}+\cancel5=\)
\(=2n+1\) - зависит от \(n\).
\(a_n\) - не является арифметической прогрессией.
в) \(a_n=n+4\)
\(a_{n+1}-a_n=\)
\(=((n+1)+4)-(n+4)=\)
\(=\cancel n + 1 + \cancel4 - \cancel n -\cancel 4 =1\).
\(a_n\) - является арифметической прогрессией.
г) \(a_n=\dfrac{1}{n+4}\)
\(a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{n+5} ^{\color{blue}{\backslash n+4}} -\dfrac{1}{n+4} ^{\color{blue}{\backslash n+5}} =\)
\(=\dfrac{(n + 4) - (n + 5)}{(n+5)(n + 4)}=\)
\(=\dfrac{\cancel n + 4 - \cancel n + 5}{(n+5)(n + 4)}=\)
\(=\dfrac{9}{(n+5)(n + 4)}\) - зависит от \(n\).
\(a_n\) - не является арифметической прогрессией.
д) \(a_n=-0{,}5n+1\)
\(a_{n+1}-a_n=\)
\(=(-0{,}5(n+1)+1)-(-0{,}5n+1)=\)
\(=-\cancel{0{,}5n}-0,5+\cancel1+\cancel{0{,}5n}-\cancel1=-0{,}5.\)
\(a_n\) - является арифметической прогрессией.
е) \(a_n=6n^2\)
\(a_{n+1}-a_n=6(n+1)^2-6n^2=\)
\(=6(n^2 + 2n + 1) -6n^2=\)
\(=\cancel{6n^2} + 12n + 6 - \cancel{6n^2}=\)
\(=12n+6\) - зависит от \(n\).
\(a_n\) - не является арифметической прогрессией.
Пояснения:
Последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда разность двух соседних членов постоянна и не зависит от номера \(n\).
а), в), д) — линейные формулы вида \(a_n=an+b\). Для них разность \(a_{n+1}-a_n\) равна числу \(a\), поэтому такие последовательности всегда являются арифметическими.
б) и е) — формулы, содержащие квадрат \(n\). В этом случае разность соседних членов зависит от \(n\), поэтому последовательность не является арифметической.
г) — дробно-рациональная формула. Разность соседних членов меняется при изменении \(n\), следовательно, арифметической прогрессией такая последовательность не является.
№563 учебника 2014-2022 (стр. 146):
а) За \(a_{99}\) следует \(a_{100}\)
За \(a_{200}\) следует \(a_{201}\)
За \(a_n\) следует \(a_{n+1}\)
За \(a_{n-1}\) следует \(a_n\)
За \(a_{n+1}\) следует \(a_{n+2}\)
За \(a_{2n}\) следует \(a_{2n+1}\)
б) Перед \(a_{71}\) стоит \(a_{70}\)
Перед \(a_{100}\) стоит \(a_{99}\)
Перед \(a_{n-2}\) стоит \(a_{n-3}\)
Перед \(a_{n+3}\) стоит \(a_{n+2}\)
Перед \(a_{3n}\) стоит \(a_{3n-1}\)
Пояснения:
Последовательность \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) упорядочена по возрастанию номеров. Это означает, что каждый следующий член имеет номер, на 1 больший предыдущего.
Если требуется указать член, который следует за данным \(a_k\), то его номер увеличивается на 1:
\[a_k \rightarrow a_{k+1}.\]
Если требуется указать член, который предшествует данному \(a_k\), то его номер уменьшается на 1:
\[a_k \rightarrow a_{k-1}.\]
В выражениях с переменной \(n\) применяются те же правила: к индексу прибавляется или вычитается 1, при этом само значение члена последовательности не играет роли.
Вернуться к содержанию учебника