Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№562 учебника 2023-2026 (стр. 159):
Известно, что числа \(a^2,\ b^2,\ c^2\) — последовательные члены арифметической прогрессии. Докажите, что числа \(\dfrac{1}{b+c},\ \dfrac{1}{a+c},\ \dfrac{1}{a+b}\) также являются последовательными членами арифметической прогрессии.
№562 учебника 2014-2022 (стр. 146):
Пусть \((a_n)\) — последовательность квадратов натуральных чисел. Выпишите первые десять членов этой последовательности. Найдите \(a_{20}, a_{40}, a_n\).
№562 учебника 2023-2026 (стр. 159):
Вспомните:
№562 учебника 2014-2022 (стр. 146):
Вспомните:
№562 учебника 2023-2026 (стр. 159):
Дано: \(a^2,\ b^2,\ c^2\) — последовательные члены арифметической прогрессии.
Доказать: \(\dfrac{1}{b+c},\ \dfrac{1}{a+c},\ \dfrac{1}{a+b}\) являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Доказательство:
1) Пусть \(d\) разность арифметической прогрессии с членами \(a^2,\ b^2,\ c^2\), тогда
\(b^2-a^2=c^2-b^2 = d\).
2) \(\dfrac{1}{a+c} ^{\color{blue}{\backslash b+c}} -\dfrac{1}{b+c} ^{\color{blue}{\backslash a+c}} =\)
\(=\dfrac{(b+c)-(a+c)}{(a+c)(b+c)}=\)
\(=\dfrac{b+c-a-c}{(a+c)(b+c)}=\)
\(=\dfrac{b-a}{(a+c)(b+c)} ^{\color{blue}{\backslash b+a}} =\)
\(=\dfrac{(b-a)(b+a)}{(a+c)(b+c)(b+a)} =\)
\(=\dfrac{b^2-a^2}{(a+c)(b+c)(b+a)}=\)
\(=\dfrac{d}{(a+c)(b+c)(a+b)}.\)
3) \(\dfrac{1}{a+b} ^{\color{blue}{\backslash a+c}} -\dfrac{1}{a+c} ^{\color{blue}{\backslash a+b}} =\)
\(=\dfrac{(a+c)-(a+b)}{(a+b)(a+c)}=\)
\(=\dfrac{a+c-a+b}{(a+b)(a+c)}=\)
\(=\dfrac{c-b}{(a+b)(a+c)} ^{\color{blue}{\backslash c+b}}= \)
\(=\dfrac{(c-b)(c + b)}{(a+b)(a+c)(c + b)}= \)
\(=\dfrac{c^2-b^2}{(a+b)(a+c)(b+c)}= \)
\(=\dfrac{d}{(a+c)(b+c)(a+b)}.\)
4) Получаем:
\(\dfrac{1}{a+c} -\dfrac{1}{b+c} =\dfrac{1}{a+b} -\dfrac{1}{a+c}\)
Следовательно, \(\dfrac{1}{b+c},\ \dfrac{1}{a+c},\ \dfrac{1}{a+b}\) являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Если три числа идут подряд в арифметической прогрессии, то разности соседних членов равны. Для квадратов это означает:
\[b^2-a^2=c^2-b^2.\]
Чтобы показать, что три другие величины тоже идут подряд в арифметической прогрессии, нужно доказать равенство разностей соседних членов:
\(\dfrac{1}{a+c} -\dfrac{1}{b+c} =\dfrac{1}{a+b} -\dfrac{1}{a+c}\).
№562 учебника 2014-2022 (стр. 146):
\((a_n)\) — последовательность квадратов натуральных чисел.
Первые десять членов:
\(a_1=1^2=1,\)
\(a_2=2^2=4,\)
\(a_3=3^2=9,\)
\(a_4=4^2=16,\)
\(a_5=5^2=25,\)
\(a_6=6^2=36,\)
\(a_7=7^2=49,\)
\(a_8=8^2=64,\)
\(a_9=9^2=81,\)
\(a_{10}=10^2=100\)
\(a_{20}=20^2=400\)
\(a_{40}=40^2=1600\)
\(a_n=n^2\)
Пояснения:
Последовательность квадратов натуральных чисел образуется возведением в квадрат каждого натурального числа:
\[1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \ldots\]
Так как номер члена последовательности совпадает с натуральным числом, которое возводится в квадрат, то общий вид \(n\)-го члена записывается формулой:
\[a_n=n^2.\]
Чтобы найти любой конкретный член последовательности, нужно подставить номер члена вместо \(n\) и возвести его в квадрат.
Поэтому:
\(a_{20}=20^2=400,\)
\(a_{40}=40^2=1600.\)
Вернуться к содержанию учебника