Упражнение 449 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(a + b\) - рациональное число.

б) \(a - b\) - рациональное число.

в) \(a b\) - рациональное число.

г) \( \frac{a}{b}\) (где \(b \neq 0\)) - рациональное число.

Пояснения:

Сумма, разность, произведение и частное рациональных чисел всегда является рациональным числом, то есть множество рациональных чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления.

а) \( \frac{\sqrt{4 - \sqrt{11}}}{\sqrt{4 + \sqrt{11}}}=\)

\(=\frac{\sqrt{4 - \sqrt{11}}\cdot\sqrt{4 - \sqrt{11}}}{\sqrt{4 + \sqrt{11}}\cdot\sqrt{4 - \sqrt{11}}}=\)

\(=\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{11})(4 - \sqrt{11})}}{\sqrt{(4 + \sqrt{11})(4 - \sqrt{11})}}=\)

\(=\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{11})^2}}{\sqrt{4^2 - (\sqrt{11})^2}}=\frac{|4 - \sqrt{11}|}{\sqrt{16 - 11}}=\)

\(=\frac{4 - \sqrt{11}}{\sqrt{5}}=\frac{(4 - \sqrt{11})\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\)

\(=\frac{\sqrt{5}(4 - \sqrt{11})}{5}.\)

б) \(\frac{\sqrt{ \sqrt{5} + \sqrt{3}}}{\sqrt{ \sqrt{5} - \sqrt{3}}}=\)

\(=\frac{\sqrt{ \sqrt{5} + \sqrt{3}}\cdot\sqrt{ \sqrt{5} + \sqrt{3}}}{\sqrt{ \sqrt{5} - \sqrt{3}}\cdot\sqrt{ \sqrt{5} + \sqrt{3}}}=\)

\(=\frac{\sqrt{ (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}}{\sqrt{ (\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}}=\)

\(=\frac{\sqrt{ (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}}{\sqrt{ (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}}=\)

\(=\frac{ |\sqrt{5} + \sqrt{3}|}{\sqrt{ 5 - 3}}=\frac{ \sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\)

\(=\frac{ (\sqrt{5} + \sqrt{3})\cdot\sqrt2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\)

\(=\frac{ \sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2}.\)

в) \( \frac{\sqrt{\sqrt{5} - 2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 2}}=\)

\(= \frac{\sqrt{\sqrt{5} - 2}\cdot\sqrt{\sqrt{5} - 2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 2}\cdot\sqrt{\sqrt{5} - 2}}=\)

\(= \frac{\sqrt{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} - 2})}{\sqrt{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)}}=\)

\(= \frac{\sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2}}{\sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2}}=\frac{|\sqrt{5} - 2|}{\sqrt{5 - 4}}=\)

\(=\frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{5} - 2}{1}=\sqrt{5} - 2.\)

Пояснения:

От иррациональности в знаменателе дроби избавляемся в два этапа:

1) числитель и знаменатель дроби умножаем на такое выражение, чтобы в числителе дроби получился квадрат суммы или квадрата разности двух выражений, а в знаменателе разность квадратов двух выражений;

2) числитель и знаменатель дроби умножаем на такой же корень, который получился в знаменателе.

Использованные формулы и приемы:

1. Формула квадрата суммы и квадрата разности:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

2. Разность квадратов:

\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\).

3. Свойства корня:

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\);

\((\sqrt{a})^2 = a\);

\(\sqrt{x^2} = |x| = x\), если \(x\geqslant0\);

\(\sqrt{x^2} = |x| = -x\), если \(x\leqslant0\).