Упражнение 218 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{(3a - 3c)^2}{9a^2 - 9c^2} = \frac{9(a - c)^{ \cancel 2^1}}{9 \cancel{(a - c)}(a + c)} =\)

\(=\frac{a - c}{a + c} \)

б)  \( \frac{(a^2 - 9)^2}{(3 - a)^3} = \frac{ \cancel {(a - 3)^2}(a + 3)^2}{-\,(a - 3)^{ \cancel3}} =\)

\(= -\,\frac{(a + 3)^2}{a - 3} \)

в) \( \frac{8y^3 - 1}{y - 4y^3} =\)

\(=\frac{ \cancel {(2y - 1)}(4y^2 + 2y + 1)}{-\,y \cancel {(2y - 1)}(2y + 1)} =\)

\(= -\,\frac{4y^2 + 2y + 1}{y(2y + 1)} \)

г) \( \frac{5a^2 - 3ab}{a^2 - 0.36b^2} =\)

\(=\frac{5a \cancel {(a - 0,6b)}}{{ \cancel {(a - 0,6b)}(a + 0,6b)}} =\)

\(= \frac{5a}{a + 0,6b} \)

Пояснения:

– Для сокращения дробей сначала раскладываем числитель и знаменатель на множители.

– Вариант а): вынесли общий множитель \(3\) в квадрате и сократили с общей 9.

– Вариант б): учли, что \((3 - a)^3 = -\,(a - 3)^3\), и сократили степень множителя \((a - 3)\).

– Вариант в): применили формулу разности кубов и разложения \(1 - 4y^2\), затем сократили общий множитель.

– Вариант г): вынесли в числителе общий множитель \(5a\), в знаменателе применили формулу разности квадратов двух выражений, сократили множитель \((a-0,6b).\)

а) \(\frac{36}{(a - b)^2};\)

\(a - b = 9\):

\(\displaystyle\frac{36}{(a - b)^2} = \frac{36}{9^2} = \frac{36}{81} = \frac{4}{9}.\)

б) \(\frac{108}{(b - a)^2};\)

\(a - b = 9\):

\(b - a = -(a - b) = -9\), значит

\(\displaystyle\frac{108}{(b - a)^2} = \frac{108}{(-9)^2} = \frac{108}{81} = \frac{4}{3}=1\frac{1}{3}.\)

в) \(\frac{(5a - 5b)^2}{45};\)

\(a - b = 9\):

\(5a - 5b = 5(a - b) = 5\cdot 9 = 45\), поэтому

\(\displaystyle\frac{(5a - 5b)^2}{45} = \frac{45^2}{45} = 45.\)

г) \(\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 - b^3}=\)

\(=\frac{ \cancel {a^2 + ab + b^2}}{ (a - b) \cancel {(a^2 + ab + b^2)}}=\)

\(=\frac{1}{ (a - b)}\)

\(a - b = 9\):

\(\frac{1}{(a - b)}=\frac{1}{9}.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Подстановка известного значения \(a - b = 9\) в выражения с квадратом и в линейных сочетаниях.

2. Свойство степени: \((b - a)^2 = (-(a - b))^2 = (a - b)^2\).

3. Разность кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

Развёрнутые пояснения:

– В пунктах а) и б) сразу используем подстановку в квадрат выражения \(a - b\) или \(b - a\), после чего получаем простые дроби.

– В пункте в) представляем разность \(5a - 5b\) как произведение \(5(a - b)\), возводим в квадрат и сокращаем с делителем.

– В пункте г) используем формулу разности кубов в знаменателе, сокращаем общий множитель и получаем единицу, делённую на \(a - b=9\).