Упражнение 368 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \sqrt{75\cdot48} =\sqrt{(25 \cdot 3)\cdot(16 \cdot 3)}=\)

\(=\sqrt{25\cdot16\cdot9} =\sqrt{25}\cdot\sqrt{16}\cdot\sqrt{9}=\)

\(=5 \cdot 4 \cdot 3 = 60. \)

б) \( \sqrt{45\cdot80} =\sqrt{(9 \cdot 5)\cdot(16 \cdot 5)} =\)

\(=\sqrt{9\cdot16\cdot25}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{16}\cdot\sqrt{25} =\)

\(=3 \cdot 4 \cdot 5 = 60. \)

в) \(\sqrt{4{,}9\cdot360} =\)

\(=\sqrt{(49 \cdot 0{,}1)\cdot(36 \cdot 10)} =\)

\(=\sqrt{49\cdot36}=\sqrt{49}\cdot\sqrt{36} =\)

\(=7 \cdot 6 = 42. \)

г) \( \sqrt{160\cdot6{,}4} =\)

\(=(16 \cdot 10)\cdot(64 \cdot 0{,}1)=\)

\(=\sqrt{16\cdot64}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{64} =\)

\(=4 \cdot 8 = 32. \)

Пояснения:

Использованные приёмы:

1) Разложение подкоренного выражения на множители так, чтобы каждый из множителей являлся квадратом целого числа.

2) Свойство корня из произведения:

\(\sqrt{a\cdot b\cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\cdot\sqrt{c}.\)

3) Определение арифметического квадратного корня:

если \(x = \sqrt a\), то \(a = x^2\).

а) 1) \(x^2 = 11\)

\(x_1 = -\sqrt{11}\)   и   \(x_2 = \sqrt{11}\)

Ответ: \(x_1 = -\sqrt{11}\) и \(x_2 = \sqrt{11}\).

2) \(\sqrt{x} = 11\).

\(x = 11^2 \)

\(x = 121\)

Ответ: \(x = 121\).

б) 1) \(2x^2 = \frac12 \)

\(x^2 = \frac12 : 2 \)

\(x^2 = \frac12 \cdot  \frac12 \)

\(x^2 = \frac14 \)

\(x_1 = -\sqrt{\frac14}\)   и   \(x_2 = \sqrt{\frac14}\)

\( x_1 = -\frac12\)              \( x_2 = \frac12\)

Ответ: \( x_1 = -\frac12\) и \( x_2 = \frac12\).

2) \(2\sqrt{x} = \frac12 \)

\(\sqrt{x} = \frac12 : 2 \)

\(\sqrt{x} = \frac12 \cdot \frac12\)

\(\sqrt{x} = \frac14\).

\(x = \bigl(\frac14\bigr)^2\)

\(x= \frac{1}{16}\)

Ответ: \(x= \frac{1}{16}\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Для уравнения \(x^2 = a\) (где \(a\ge0\)) будет два корня:

\(x_1 = -\sqrt{a}\) и \(x_2 = -\sqrt{a}\).

2) Для уравнения \(\sqrt{x} = b\) требуется \(b\ge0\) и \(x = b^2\).

3) При решении уравнений с корнем всегда проверяем область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.