Упражнение 998 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( (x - 5)^2 - 16 =(x - 5)^2 - 4^2 = \)

\(=\bigl((x - 5) - 4\bigr)\bigl((x - 5) + 4\bigr) =\)

\(=\bigl(x - 5 - 4\bigr)\bigl(x - 5 + 4\bigr) =\)

\(=(x - 9)(x - 1). \)

б) \( (b + 7)^2 - 9 = (b + 7)^2 - 3^2 = \)

\(=\bigl((b + 7) - 3\bigr)\bigl((b + 7) + 3\bigr) =\)

\(=\bigl(b + 7 - 3\bigr)\bigl(b + 7 + 3\bigr) =\)

\(=(b + 4)(b + 10). \)

в) \( 25 - (3 - x)^2 = 5^2 - (3 - x)^2 =\)

\(=\bigl(5 - (3 - x)\bigr)\bigl(5 + (3 - x)\bigr)= \)

\(=\bigl(5 - 3 + x\bigr)\bigl(5 + 3 - x\bigr)= \)

\( = (2 + x)(8 - x). \)

г) \( 81 - (a + 7)^2 = 9^2 - (a + 7)^2 =\)

\(= \bigl(9 - (a + 7)\bigr)\bigl(9 + (a + 7)\bigr)= \)

\(= \bigl(9 - a - 7\bigr)\bigl(9 + a + 7\bigr)= \)

\( = (2 - a)(a + 16). \)

д) \( (7x - 4)^2 - (2x + 1)^2 =  \)

\(= ((7x - 4) - (2x + 1))((7x - 4) + (2x + 1)) =\)

\(= (7x - 4 - 2x - 1)(7x - 4 + 2x + 1) =\)

\(= (5x - 5)(9x - 3) =\)

\(=5(x - 1)\cdot3(3x - 1)= \)

\(=15(x - 1)(3x - 1).\)

е) \((n - 2)^2 - (3n + 1)^2 = \)

\(= ((n - 2) - (3n + 1))((n - 2) + (3n + 1))=\)

\(= (n - 2 - 3n - 1)(n - 2 + 3n + 1)=\)

\(= ( -2n - 3)(4n - 1) =\)

\(=-(2n + 3)(4n - 1). \)

ж) \( 9(a + 1)^2 - 1 =\)

\(=(3(a+1))^2 - 1^2=\)

\(=\bigl(3(a + 1) - 1\bigr)\bigl(3(a + 1) + 1\bigr)= \)

\(= (3a + 3 - 1)(3a + 3 + 1)=\)

\(=(3a + 2) (3a + 4). \)

з) \( 4 - 25(x - 3)^2 =\)

\(=2^2 - (5(x - 3))^2 =\)

\(= (2 - 5(x - 3)) (2 + 5(x - 3)) =\)

\(= (2 - 5x + 15) (2 + 5x - 15)=\)

\(= (17 - 5x) (5x - 13). \)

Пояснения:

Основные правила и приёмы, использованные при разложении на множители:

1. Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

2. Свойства степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\).

3. Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии меняем знаки всех слагаемых из скобок на противоположные.

4. Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

5. Алгоритм разложения для каждого выражения:

— Шаг 1: Представить данное выражение в виде разности квадратов двух выражений.

— Шаг 2: Применить формулу разности квадратов двух выражений.

— Шаг 3: Упростить получившие множители (раскрыть скобки внутри, учитывая знаки, стоящие перед ними, привести подобные члены).

а) \( (a+8)^2 - 2(a+8)(a-2) + (a-2)^2 =\)

\(=\bigl((a+8) - (a-2)\bigr)^2 =\)

\(=(\cancel{a}+8-\cancel{a}+2)^2=10^2 = 100. \)

б) \( (y-7)^2 - 2(y-7)(y-9) + (y-9)^2 =\)

\(=((y-7)-(y-9))^2 =\)

\(=(\cancel{y}-7 - \cancel{y} + 9)^2 = 2^2 = 4. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Формула квадрата разности:

\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\).

2) Раскрытие скобок:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

Исходное выражение по формуле квадрата разности можно представить как квадрат разности двух выражений:

- пункт а): \((a+8) \) и \((a-2)\).

- пункт б): \((y-7)\) и \((y-9)\).