Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№988 учебника 2023-2025 (стр. 196):
Представьте в виде многочлена:
а) \(5y(y^2 - 3)(y^2 + 3);\)
б) \(-8x(4x - x^3)(4x + x^3);\)
в) \((a^4 - 3)(a^4 + 3)(a^8 + 9);\)
г) \((1 - b^3)(1 + b^3)(1 + b^6).\)
№988 учебника 2013-2022 (стр. 195):
Докажите, что значение выражения:
а) \(\;41^3 + 19^3\;\) делится на \(60\);
б) \(\;79^3 - 29^3\;\) делится на \(50\);
в) \(\;66^3 + 34^3\;\) делится на \(400\);
г) \(\;54^3 - 24^3\;\) делится на \(1080\).
№988 учебника 2023-2025 (стр. 196):
Вспомните:
№988 учебника 2013-2022 (стр. 195):
Вспомните:
№988 учебника 2023-2025 (стр. 196):
а) \( 5y(y^2 - 3)(y^2 + 3) =\)
\(= 5y\bigl((y^2)^2 - 3^2\bigr) =5y\bigl(y^4 - 9\bigr) =\)
\(= 5y^5 - 45y. \)
б) \( -8x(4x - x^3)(4x + x^3) =\)
\(=-8x\bigl((4x)^2 - (x^3)^2\bigr) =\)
\(= -8x\bigl(16x^2 - x^6\bigr) =\)
\(=-128x^3 + 8x^7 = 8x^7 - 128x^3. \)
в) \( (a^4 - 3)(a^4 + 3)(a^8 + 9) =\)
\(=\bigl((a^4)^2 - 3^2\bigr)\,(a^8 + 9) =\)
\(=(a^8 - 9)(a^8 + 9) =\)
\(=(a^8)^2 - 9^2 = a^{16} - 81. \)
г) \((1 - b^3)(1 + b^3)(1 + b^6) =\)
\(=\bigl(1^2 - (b^3)^2\bigr)\,(1 + b^6) =\)
\(=\bigl(1 - b^6\bigr)\,(1 + b^6) =\)
\(= 1^2 - (b^6)^2 = 1 - b^{12}. \)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
2. Умножение одночлена на многочлен:
\(a(b+c) = ab + ac\).
3. Свойства степени:
\(a^ma^n=a^{m+n}\),
\((a^nb^n=(ab)^n\),
\((a^m)^n=a^{mn}\).
Пояснение к пункту а)
Сначала разложили \((y^2 - 3)(y^2 + 3)\) по формуле произведения разности двух выражений и их суммы. Получили \(y^4 - 9\). Затем умножили результат на \(5y\), получили \(5y^5 - 45y\).
Пояснение к пункту б)
Сначала разложили
\((4x - x^3)(4x + x^3)\) по формуле произведения разности двух выражений и их суммы. Получили \(16x^2 - x^6\). Затем умножили на \(-8x\), получили \(8x^7 - 128x^3\).
Пояснение к пункту в)
Сначала разложили \((a^4 - 3)(a^4 + 3)\) по формуле произведения разности двух выражений и их суммы. Получили \(a^8 - 9\). Затем этот результат умножили на \((a^8 + 9)\), применяя формулу произведения разности двух выражений и их суммы, получили \( a^{16} - 81. \)
Пояснение к пункту г)
Сначала разложили \((1 - b^3)(1 + b^3)\) по формуле произведения разности двух выражений и их суммы, получили \(1 - b^6\). Затем этот результат умножили на \((1 + b^6)\), применяя формулу произведения разности двух выражений и их суммы, получили
\(1 - b^{12}\).
№988 учебника 2013-2022 (стр. 195):
а) \( 41^3 + 19^3 =\)
\(=(41 + 19)\bigl(41^2 - 41\cdot19 + 19^2\bigr) =\)
\(=60\cdot\bigl(1681 - 41\cdot19 + 361\bigr) \) - делится на 60.
б) \( 79^3 - 29^3 =\)
\(=(79 - 29)\bigl(79^2 + 79\cdot29 + 29^2\bigr) =\)
\(=50\cdot\bigl(79^2 + 79\cdot29 + 29^2\bigr) \) - делится на 50.
в) \( 66^3 + 34^3 =\)
\(=(66 + 34)\bigl(66^2 - 66\cdot34 + 34^2\bigr) =\)
\(=100\cdot\bigl((2\cdot33)^2 - 2\cdot33\cdot2\cdot17 + (2\cdot17)^2\bigr) =\)
\(=100\cdot\bigl(4\cdot33^2 - 4\cdot33\cdot17 + 4\cdot17^2\bigr) =\)
\(=100\cdot4\cdot\bigl(33^2 - 33\cdot17 + 17^2\bigr) =\)
\(= 400\cdot\bigl(33^2 - 33\cdot17 + 17^2\bigr) \) - делится на 400.
г) \( 54^3 - 24^3 =\)
\(=(54 - 24)\bigl(54^2 + 54\cdot24 + 24^2\bigr) =\)
\(=30\cdot\bigl((6\cdot9)^2 + 6\cdot9\cdot6\cdot4 + (6\cdot4)^2\bigr) =\)
\(=30\cdot\bigl(36\cdot81 + 36\cdot9\cdot4 + 36\cdot16\bigr) =\)
\(=30\cdot36\cdot\bigl(81 + 36 + 16\bigr) =\)
\(=1080\cdot\bigl(81 + 36 + 16\bigr)\) - делится на 1080.
Пояснения:
Использованные формулы и приемы:
1. Формулы суммы кубов и разности кубов:
\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)
\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). \)
2. Свойство степени:
\(a^nb^n=(ab)^n\).
3. Свойство делимости: если в произведении один из множителей делится на какое-либо число. то и все произведение делится на это число.
Каждое выражение раскладываем на множители по формуле разности кубов, затем в первой скобке выполняем вычисления и, если необходимо дополнительно выносим множитель за скобки из второй скобки.
Вернуться к содержанию учебника