Задание 18. Вопросы для повторения к главе VI - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник. Страница 136

Старая и новая редакции

Вернуться к содержанию учебника

Вопросы для повторения к главе VI. Страница 136

15 16 17 18 19 20 21

Вопрос

№18 учебника 2023-2024 (стр. 136):

Сформулируйте и докажите утверждения о признаках квадрата.

Подсказка

№18 учебника 2023-2024 (стр. 136):

Вспомните:

  1. Что называют квадратом, признаки квадрата.
  2. Что называют прямоугольником, его свойства.
  3. Что называют ромбом, его свойства.
  4. Какой треугольник называют прямоугольным.
  5. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
  6. Свойства прямоугольного треугольника.
  7. Сумма углов четырехугольника.
  8. Какие прямые называю перпендикулярными.

Ответ

№18 учебника 2023-2024 (стр. 136):

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Признаки квадрата:

1) Если две смежные стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом.

Дано: АВСD - прямоугольник, АВ = ВС.

Доказать: АВСD - квадрат.

Доказательство:

АВСD - прямоугольник, АВ = СD и ВС = АD, при этом АВ = ВС,

АВ = ВС = СD = АD.

Итак, в четырехугольнике АВСD все стороны равны и все углы прямые, АВСD - квадрат по определению. Что и требовалось доказать.

2) Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

Дано: АВСD - прямоугольник, АСВD.

Доказать: АВСD - квадрат:

Доказательство:

В прямоугольных АОВ и ВОС:

ОА = ОВ = ОС, так как в прямоугольнике диагонали равны и и точкой пересечения делятся пополам, АОВ и ВОС по двум катетам, АВ = ВС, АВСD - квадрат (смотри первый признак квадрата). Что и требовалось доказать.

3) Если один из углов ромба прямой, то этот ромб является квадратом.

Дано: АВСD - ромб, А = 900.

Доказать: АВСD - квадрат:

Доказательство:

АВСD - ромб, А = С = 900 и В = D. Сумма углов четырехугольника равна 3600,

В = D = (3600 - А - С) : 2 =

= (3600 - 900 - 900) : 2 = 1800 : 2 = 900.

Итак, в четырехугольнике АВСD все стороны равны и все углы прямые, АВСD - квадрат по определению. Что и требовалось доказать.

4) Если диагонали ромба равны, то этот ромб является квадратом.

Дано: АВСD - ромб, АС = ВD.

Доказать: АВСD - квадрат.

Доказательство:

АВСD - ромб, АС ВD, при этом АС = ВD, прямоугольный АОВ - равнобедренный, ОАВ = ОВА (как углы при основании равнобедренного треугольника),

ОАВ = ОВА = 900 : 2 = 450 (свойство прямоугольного треугольника).

Аналогично, ОВС = ОСВ = 450, В = ОВА + ОВС = 450 + 450 = 900, АВСD - квадрат (смотри третий признак квадрата). Что и требовалось доказать.


Вернуться к содержанию учебника