Задание 18. Вопросы для повторения к главе VI - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник. Страница 136

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Признаки квадрата:

1) Если две смежные стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом.

Дано: АВСD - прямоугольник, АВ = ВС.

Доказать: АВСD - квадрат.

Доказательство:

АВСD - прямоугольник, АВ = СD и ВС = АD, при этом АВ = ВС,

АВ = ВС = СD = АD.

Итак, в четырехугольнике АВСD все стороны равны и все углы прямые, АВСD - квадрат по определению. Что и требовалось доказать.

2) Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

Дано: АВСD - прямоугольник, АСВD.

Доказать: АВСD - квадрат:

Доказательство:

В прямоугольных АОВ и ВОС:

ОА = ОВ = ОС, так как в прямоугольнике диагонали равны и и точкой пересечения делятся пополам, АОВ и ВОС по двум катетам, АВ = ВС, АВСD - квадрат (смотри первый признак квадрата). Что и требовалось доказать.

3) Если один из углов ромба прямой, то этот ромб является квадратом.

Дано: АВСD - ромб, А = 90⁰.

Доказать: АВСD - квадрат:

Доказательство:

АВСD - ромб, А = С = 90⁰ и В = D. Сумма углов четырехугольника равна 360⁰,

В = D = (360⁰ - А - С) : 2 =

= (360⁰ - 90⁰ - 90⁰) : 2 = 180⁰ : 2 = 90⁰.

Итак, в четырехугольнике АВСD все стороны равны и все углы прямые, АВСD - квадрат по определению. Что и требовалось доказать.

4) Если диагонали ромба равны, то этот ромб является квадратом.

Дано: АВСD - ромб, АС = ВD.

Доказать: АВСD - квадрат.

Доказательство:

АВСD - ромб, АС ВD, при этом АС = ВD, прямоугольный АОВ - равнобедренный, ОАВ = ОВА (как углы при основании равнобедренного треугольника),

ОАВ = ОВА = 90⁰ : 2 = 45⁰ (свойство прямоугольного треугольника).

Аналогично, ОВС = ОСВ = 45⁰, В = ОВА + ОВС = 45⁰ + 45⁰ = 90⁰, АВСD - квадрат (смотри третий признак квадрата). Что и требовалось доказать.