Вернуться к содержанию учебника
Вопросы для повторения к главе VI. Страница 136
№18 учебника 2023-2024 (стр. 136):
№18 учебника 2023-2024 (стр. 136):
Вспомните:
№18 учебника 2023-2024 (стр. 136):
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Признаки квадрата:
1) Если две смежные стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом.
Дано: АВСD - прямоугольник, АВ = ВС.
Доказать: АВСD - квадрат.
Доказательство:
АВСD - прямоугольник, АВ = СD и ВС = АD, при этом АВ = ВС,
АВ = ВС = СD = АD.
Итак, в четырехугольнике АВСD все стороны равны и все углы прямые, АВСD - квадрат по определению. Что и требовалось доказать.
2) Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
Дано: АВСD - прямоугольник, АСВD.
Доказать: АВСD - квадрат:
Доказательство:
В прямоугольных АОВ и ВОС:
ОА = ОВ = ОС, так как в прямоугольнике диагонали равны и и точкой пересечения делятся пополам, АОВ и ВОС по двум катетам, АВ = ВС, АВСD - квадрат (смотри первый признак квадрата). Что и требовалось доказать.
3) Если один из углов ромба прямой, то этот ромб является квадратом.
Дано: АВСD - ромб, А = 900.
Доказать: АВСD - квадрат:
Доказательство:
АВСD - ромб, А = С = 900 и В = D. Сумма углов четырехугольника равна 3600,
В = D = (3600 - А - С) : 2 =
= (3600 - 900 - 900) : 2 = 1800 : 2 = 900.
Итак, в четырехугольнике АВСD все стороны равны и все углы прямые, АВСD - квадрат по определению. Что и требовалось доказать.
4) Если диагонали ромба равны, то этот ромб является квадратом.
Дано: АВСD - ромб, АС = ВD.
Доказать: АВСD - квадрат.
Доказательство:
АВСD - ромб, АС ВD, при этом АС = ВD, прямоугольный АОВ - равнобедренный, ОАВ = ОВА (как углы при основании равнобедренного треугольника),
ОАВ = ОВА = 900 : 2 = 450 (свойство прямоугольного треугольника).
Аналогично, ОВС = ОСВ = 450, В = ОВА + ОВС = 450 + 450 = 900, АВСD - квадрат (смотри третий признак квадрата). Что и требовалось доказать.
Вернуться к содержанию учебника