Упражнение 490 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = r^2,\\ y = -x^2 + 4, \end{cases}\)

\(r\) - положительное число.

\(x^2 + y^2 = r^2\) - окружность с центром \((0; 0)\) и радиусом \(r\).

\(y = -x^2 + 4\) - парабола, полученная из параболы \(y = x^2\), с вершиной \((0; 4)\), ветви вниз.

1) 0 решений.

2) 2 решения.

3) 3 решения.

4) 4 решения.

Пояснения:

Первое уравнение задаёт окружность радиуса \(r\) с центром в начале координат:

\[x^2 + y^2 = r^2\]

Второе уравнение задаёт параболу, ветви которой направлены вниз:

\[y = -x^2 + 4\]

Число решений системы равно числу точек пересечения окружности и параболы.

В зависимости от значения радиуса \(r\) окружность может:

— не пересекать параболу;

— пересекать в двух, трёх или четырёх точках.

Следовательно, система может иметь 0, 2, 3 или 4 решения.

а) Центр \((2; 0)\), радиус \(r = 3\):

\((x - 2)^2 + y^2 \le 9.\)

б) Центр \((0; 4)\), радиус  \(r = 2\):

\(x^2 + (y - 4)^2 > 4.\)

Пояснения:

Круг — это множество точек, ограниченных окружностью, называется кругом

Формула окружности:

\((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2.\)

а) Множество точек, расположенных внутри круга и принадлежащих окружности удовлетворяют неравенству:

\((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 \le r^2.\)

Центр \((2; 0)\), радиус \(r = 3\):

\((x - 2)^2 + y^2 \le 9.\)

б) Множество точек, расположенных вне круга удовлетворяют неравенству:

\((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2> r^2.\)

Центр \((0; 4)\), радиус  \(r = 2\):

\(x^2 + (y - 4)^2 > 4.\)