Упражнение 485 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{y-x}{x-2}=0\)

\(y-x=0\)  и  \( x-2\ne 0\)

\(y=x\)             \( x\ne 2 \)

\(y=x\) - прямая.

б) \( \frac{y-x^2}{x^2-1}=0 \)

\(y-x^2=0\)

\( y=x^2\) - парабола, ветви вверх.

\(x^2-1\ne 0\)

\((x - 1) (x + 1) \ne 0\)

\(x - 1 \ne 0\)   и   \(x + 1 \ne 0\)

\(x\ne 1\)               \( x\ne -1 \)

в) \( \frac{x^2+y^2-16}{y^2-4}=0 \)

\(x^2+y^2-16=0\)

\(x^2+y^2=16\) - окружность с центром \((0; 0)\) и радиусом \(r = 4\).

\(y^2-4\ne 0\)

\((y - 2)(y + 2) \ne 0\)

\(y - 2 \ne 0\)  и  \(y + 2 \ne 0\)

\( y\ne 2\)             \( y\ne -2 \)

г) \( \frac{x^2+y^2-1}{x^2-y^2}=0 \)

\(x^2+y^2-1=0\)

\(x^2+y^2=1\) = окружность с центром \((0; 0)\) и радиусом \(r = 1\).

\(x^2-y^2\ne 0\)

\((x - y) (x+y) \ne 0\)

\(x - y \ne 0\)   и   \(x + y \ne 0\)

\(x \ne y\)               \(x \ne-y\)

Пояснения:

Правила и приёмы:

1. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\[ \frac{A}{B}=0 \Longleftrightarrow \begin{cases}A=0,\\ B\ne 0.\end{cases} \]

2. Условия \(B\ne 0\) дают «запрещённые» значения, которые нужно исключить из графика (получаются выколотые точки).

3. Окружность с центром в начале координат задаётся уравнением

\(x^2+y^2=r^2\).

4. Линейную функцию \(y=ax+b\) строим по точкам, составляя таблицу (достаточно двух точек).

\(ax + by > c\)

а) \(a = 0,\ b = 1,\ c = 3:\)

\(0\cdot x + 1\cdot y > 3,\)

\(y > 3.\)

б) \(a = 1,\ b = 0,\ c = 3\).

\(1\cdot x + 0\cdot y > 3\)

\(x > 3.\)

Пояснения:

Общие правила:

1) Равенство вида \(ax + by = c\) задаёт прямую на координатной плоскости.

2) Неравенства \(ax + by > c\) или \(ax + by < c\) задают одну из полуплоскостей, на которую эта прямая делит плоскость.

3) При строгом неравенстве прямая не входит в множество решений.

Пояснение к пункту а)

Так как \(a = 0\), то переменная \(x\) исчезает из неравенства. Получается условие только на \(y\):

\[y > 3.\]

Это все точки выше горизонтальной прямой \(y = 3\). Прямая не входит в решение, так как знак строгий.

Пояснение к пункту б)

Так как \(b = 0\), переменная \(y\) исчезает. Получаем неравенство:

\[x > 3.\]

Это все точки правее вертикальной прямой \(x = 3\). Прямая не входит, потому что знак строгий.

Таким образом, в обоих случаях необходимо построить прямую и выделить соответствующую полуплоскость.