Упражнение 766 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(7x^2 + bx - 23 = 0\)  

По теореме Виета:

\(x_1 \cdot x_2 = -\frac{23}{7} < 0\), значит, один из корней положительный, а другой отрицательный, при любом \(b\).

Пояснения:

В квадратном уравнении

\(ax^2 + bx + c = 0\) сумма и произведение корней выражаются формулами: \[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.\]

В нашем случае

\(a = 7\), \(b = b\), \(c = -23\).

Следовательно: \[x_1 \cdot x_2 = \frac{-23}{7}= -\frac{23}{7} < 0.\]

Отрицательное произведение означает, что один корень положительный, а другой отрицательный.

Значит, уравнение \(7x^2 + bx - 23 = 0\) всегда имеет один положительный и один отрицательный корень при любых значениях параметра \(b\).

а) \(5 > 2\)  и  \(4 > 3\)

\(5 \cdot 4 > 2 \cdot 3\)

\(20 > 6.\)

б) \(8 < 10\) и \(\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2}\)

\(8 \cdot \frac{1}{4} < 10 \cdot \frac{1}{2}\)

\(2 < 5.\)

Пояснения:

Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство:

- если \(a < b\) и \(c < d\), где \(a, b, c\) и \(d\) - положительные числа, то \(ac < bd\);

- если \(a > b\) и \(c > d\), где \(a, b, c\) и \(d\) - положительные числа, то \(ac > bd\).