Упражнение 1239 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 236

Пусть \(x\) и \(y\) - искомые натуральные числа.

\(x+y=168\).

\(НОД(x,y)=24\), тогда

\(x = 24a,\quad y = 24b.\)

\(24a + 24b = 168 \)   / \(: 24\)

\( a + b = 7.\)

1) \(1 + 6 = 7\)

\(x = 24\cdot1 = 24\); \(y =24\cdot6 =144\).

2) \(2 + 5 = 7\)

\(x = 24\cdot2 = 48\); \(y =24\cdot5 =120\).

3) \(3 + 4 = 7\)

\(x = 24\cdot3 = 72\); \(y =24\cdot4 =96\).

4) \(4 + 3 = 7\)

\(x = 24\cdot4 = 96\); \(y =24\cdot3 =72\).

5) \(5 + 2 = 7\)

\(x = 24\cdot5 = 120\); \(y =24\cdot2 =48\).

6) \(6 + 1 = 7\)

\(x = 24\cdot6 = 144\); \(y =24\cdot1 = 24\).

Ответ: 24 и 144, 48 и120, 72 и 96.

Пояснения:

1) Условие \(НОД(x,y)=24\) позволяет представить числа в виде \(24a\) и \(24b\).

2) Сумма \(x+y=168\) превращается в уравнение \(a+b=7\).

3) Натуральные взаимно простые решения \(a+b=7\) дают все возможные пары исходных чисел.