Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№561 учебника 2023-2026 (стр. 159):
Докажите, что если числа \(a,\ b,\ c\) являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа \(a^2+ab+b^2,\ a^2+ac+c^2\) и \(b^2+bc+c^2\) также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.
№561 учебника 2014-2022 (стр. 146):
Известно, что \((c_n)\) — последовательность, все члены которой с нечётными номерами равны \(-1\), а с чётными равны \(0\). Выпишите первые восемь членов этой последовательности. Найдите \(c_{10}, c_{25}, c_{200}, c_{253}, c_{2k}, c_{2k+1}\) (\(k\) — произвольное натуральное число).
№561 учебника 2023-2026 (стр. 159):
Вспомните:
№561 учебника 2014-2022 (стр. 146):
Вспомните:
№561 учебника 2023-2026 (стр. 159):
Дано: \(a,\ b,\ c\) — последовательные члены арифметической прогрессии.
Доказать: \(a^2+ab+b^2,\)
\(a^2+ac+c^2\) и \(b^2+bc+c^2\) являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Доказательство:
1) Пусть \(d\) разность арифметической прогрессии с членами \(a,\ b,\ c\), тогда
\(d=b-a\) и \(d =c-b\),
\(b - a = c - b\).
2) Пусть \(x_1=a^2+ab+b^2\),
\(x_2=a^2+ac+c^2\),
\(x_3=b^2+bc+c^2\).
Докажем, что \(x_1,\ x_2,\ x_3\) — последовательные члены арифметической прогрессии, то есть
\(x_2-x_1=x_3-x_2\)
3) \(x_2-x_1=(a^2+ac+c^2)-(a^2+ab+b^2)\)
\(x_2-x_1=ac+c^2-ab-b^2\)
\(x_2-x_1=a(c-b)+(c^2-b^2)\)
\(x_2-x_1=a(c-b)+(c-b)(c+b)\)
\(x_2-x_1=(c-b)(a+b+c)\)
4) \(x_3-x_2=(b^2+bc+c^2)-(a^2+ac+c^2)\)
\(x_3-x_2=b^2+bc-a^2-ac\)
\(x_3-x_2=(b^2-a^2)+c(b-a)\)
\(x_3-x_2=(b-a)(b+a)+c(b-a)\)
\(x_3-x_2=(b-a)(a+b+c)\)
5) Так как \(b-a=c-b\), то
\((c-b)(a+b+c)=(b-a)(a+b+c)\),
то есть \(x_2-x_1=x_3-x_2\), значит, числа \(x_1,\ x_2,\ x_3\) являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Если три числа \(a,\ b,\ c\) идут подряд в арифметической прогрессии, то разности соседних членов равны:
\[b-a=c-b.\]
Это равенство является главным свойством, которое используется в доказательстве.
Чтобы показать, что три другие величины тоже идут подряд в арифметической прогрессии, нужно доказать равенство разностей соседних членов:
\(x_2-x_1=x_3-x_2\).
Для этого разности \(x_2-x_1\) и \(x_3-x_2\) приводятся к виду «общий множитель \((a+b+c)\) умножить на разность соседних членов исходной прогрессии». Используются формулы разности квадратов:
\(c^2-b^2=(c-b)(c+b),\)
\(b^2-a^2=(b-a)(b+a).\)
В результате получается:
\(x_2-x_1=(c-b)(a+b+c),\)
\(x_3-x_2=(b-a)(a+b+c).\)
Так как \(c-b=b-a\), то обе разности равны. Значит, \(x_1,\ x_2,\ x_3\) образуют арифметическую прогрессию и идут в ней подряд.
№561 учебника 2014-2022 (стр. 146):
\((c_n)\) — последовательность, все члены которой с нечётными номерами равны \(-1\), а с чётными равны \(0\).
\(c_1=-1,\ c_2=0,\ c_3=-1,\ c_4=0,\)
\(c_5=-1,\ c_6=0,\ c_7=-1,\ c_8=0\)
\(c_{10} = 0\),
\(c_{25} = -1\),
\(c_{200} = 0\),
\(c_{253} = -1\),
\(c_{2k} = 0\), где \(k \in N\).
\(c_{2k + 1} = -1\), где \(k \in N\).
Пояснения:
По условию задачи значение члена последовательности зависит только от чётности его номера:
— если номер нечётный, то соответствующий член равен \(-1\);
— если номер чётный, то соответствующий член равен \(0\).
Поэтому первые члены последовательности чередуются следующим образом:
\[-1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, \ldots\]
Числа \(10\) и \(200\) — чётные, значит \(c_{10}=0\) и \(c_{200}=0\).
Числа \(25\) и \(253\) — нечётные, значит \(c_{25}=-1\) и \(c_{253}=-1\).
Любое чётное натуральное число можно записать в виде \(2k\), а любое нечётное — в виде \(2k+1\). Поэтому для произвольного натурального \(k\):
\[c_{2k}=0,\quad c_{2k+1}=-1.\]
Вернуться к содержанию учебника